Урок№2 Тема: Построение середины отрезка. Построение перпендикулярных прямых
Тема : Построение середины отрезка. Построение перпендикулярных прямых
обучающая: научить учащихся с помощью циркуля и линейки выполнять деление отрезка пополам; сформировать умения и навыки построения перпендикулярных прямых;
развивающая: развитие пространственного мышления, внимания;
воспитательная: воспитание трудолюбия и аккуратности.
1. Актуализация основных теоретических понятий (5мин).
Сначала можно провести фронтальный опрос по следующим вопросам:
1. Дайте определение окружности. Что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности?
2. Какой треугольник называется равнобедренным? Как называются его стороны?
3. Какой треугольник называется равносторонним?
4. Что называют серединой отрезка?
Далее предложить задание: с помощью циркуля и линейки построить биссектрису, выходящую из вершины равнобедренного треугольника. Перечислить ее свойства.
2. Изучение нового материала (практическая работа) (20мин)
Построение середины отрезка
При изучении нового материала используется таблица№4 приложения 4, по которой учащиеся составляют рассказ, как разделить данный отрезок пополам. После этого в тетрадях выполняются соответствующие построения.
Они пересекаются в точках Р и Q. Проведем прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с отрезком АВ и искомая середина отрезка АВ.
В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трем сторонам, поэтому 1=2.
Построение перпендикулярных прямых
Здесь необходимо обратить внимание, что возможны два случая:
1. Точка принадлежит прямой;
2. Точка не принадлежит прямой.
После повторения учитель формулирует задачу и объясняет построение для первого случая, при этом может быть использована таблица№3 приложения 4.
При рассмотрении второго случая учащиеся при помощи таблицы 4 проводят построение и доказательство самостоятельно.
1) точка О лежит на прямой а;
2) точка О не лежит на прямой а.
Перпендикулярность прямых ОС и АВ следует из равенства углов при вершине О треугольников АСО и ВСО.
Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.
Рассмотрим построение и доказательство для второго случая (рис.7).
3. Закрепление (10 мин)
Задача. Постройте прямоугольный треугольник по его катетам.
Данную задачу ученик решает у доски, предварительно проведя ее анализ.
1. На прямой отметим точку С и отложим отрезок СВ=а.
2. Построим прямую, проходящую через точку С перпендикулярную СВ.
3. Отложим отрезок СА=b
Также для отработки умений и навыков, можно использовать задачи №154 (а, б) (см. приложение 1).
4. Подведение итога (3мин)
1. В ходе урока мы решили две задачи на построение. Учились:
а) строить середину отрезка;
б) строить перпендикулярные прямые.
2. В ходе решения этих задач:
а) вспомнили признаки равенства треугольников;
б) использовали построения окружностей, отрезков, лучей.
5. На дом (2мин): №153 (см. приложение 1).
Тема: Решение задач на построение
обучающая: отработка умений и навыков выполнения элементарных построений с помощью циркуля и линейки;
развивающая: развитие пространственного мышления, внимания;
воспитательная: воспитание трудолюбия и аккуратности.
1. Проверка домашнего задания (10мин)
Проверить выполнение задачи №153.
Проверку можно организовать так: у доски три ученика, они должны построить прямую, проходящую через точку А перпендикулярно прямой а (рис.10).
Класс в это время может выполнить задание: дан треугольник АВС. построить высоту АD. После выполнения задания каждый шаг построения должен быть прокомментирован и обоснован.
2. Самостоятельная работа
Самостоятельная работа проводится по трём вариантам и имеет контролирующий характер
1. Разделить отрезок на 4 равные части.
2. Дан АВС. Построить биссектрису ВК.
3. Дан угол АОВ. Построить угол, для которого луч ОВ является биссектрисой.
Построение середины отрезка
Пример:
Дано: отрезок АВ.
Построить: середину АВ.
Решение:
Строим с помощью линейки произвольный отрезок АВ.
Далее с помощью циркуля строим две окружности радиуса АВ с центрами в точках А и В.
Получаем две точки пересечения данных окружностей. Обозначим их Р и Q. Проведем с помощью линейки через точки Р и Q прямую РQ.
Точку пересечения прямой РQ и отрезка АВ обозначим О.
Рассмотрим треугольники РАQ и РВQ.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения
Содержание:
Основные задачи на построение циркулем и линейкой:
В данном параграфе рассмотрим вопрос о построении геометрических фигур. Вы уже знаете, что геометрические построения можно осуществлять с помощью масштабной линейки, циркуля, транспортира и чертежного угольника. В то же время оказывается, что многие геометрические фигуры можно построить, пользуясь только циркулем и линейкой без масштабных делений.
При построении геометрических фигур с помощью циркуля и линейки без масштабных делений учитывается, что:
Теперь рассмотрим основные задачи на построение циркулем и линейкой: построение угла, равного данному, построение серединного перпендикуляра к отрезку, построение биссектрисы угла.
Задача 1 (построение угла, равного данному)
От данного луча OF отложите угол, равный данному углу ABC.
Предположим, что угол DOF, удовлетворяющий условию задачи, построен (рис. 130, а).
Пусть
2) Строим окружность 
(0, R) с центром в точке О того же радиуса R и отмечаем ее точку пересечения F1 с лучом OF.
3) Строим окружность 
(F1, A1C1).
4) Пусть D1 — одна из точек пересечения окружностей (0, R) и (F1, A1C1) (рис. 130, б). Тогда угол D1OF — искомый. Докажем, что 
D1OF =ABC.
Равенство D1OF =ABC следует из равенства треугольников А1ВС1 и D1OF1. Действительно, по построению А1В = D1O = С1В = F1O. Кроме того, по построению F1D1 = А1С1, следовательно, треугольники А1ВС1 и D1OF1 равны по трем сторонам. Отсюда следует, что D1OF =А1ВС1, т. е. построенный угол D1OF равен данному углу ABC.
Задача 2 (построение серединного перпендикуляра к отрезку)
Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку АВ.
Проведем рассуждения, которые помогут осуществить необходимое построение. Предположим, что серединный перпендикуляр а к отрезку АВ построен (рис. 131, а). Пусть точки F и D лежат на серединном перпендикуляре так, что OF = OD. Прямоугольные треугольники FOB и DOB равны по двум катетам, следовательно, BF = BD. Иначе говоря, точки F и D лежат на окружности (B, BF) и BF > ОВ. Аналогично AF =AD, так как треугольник FOA равен треугольнику DOA. Кроме того, легко увидеть, что AF = BF. Таким образом, точки F и D лежат также и на окружности (A, BF).
2) Отмечаем точки F и D пересечения окружностей (A, AB) и (B, AB).
3) Тогда прямая FD — серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Докажем это.
Рассмотрим треугольники FAD и FBD (рис. 131, в). Указанные треугольники равны по трем сторонам. Следовательно, AFD = BFD. Отсюда следует, что в равнобедренном треугольнике AFD отрезок FO является биссектрисой, а значит, и высотой и медианой, т. е. прямая FO — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Задача 3 (построение биссектрисы угла)
Постройте биссектрису данного угла ABC.
Допустим, что биссектриса BE данного угла ABC построена (рис. 132, а). Пусть точки F и D лежат на сторонах угла так, что BF = BD, О = FD 
BE, а точка Т лежит на луче, противоположном лучу ОВ. Из равенства прямоугольных треугольников FOT и DOT (FO = OD, катет ОТ — общий) следует, что FT = DT, т. е. точка Т принадлежит окружностям равных радиусов с центрами в точках F и D. Построив точку Т, мы построим биссектрису ВТ данного угла.
1) Строим окружность (B, R1) произвольного радиуса R1 с центром в вершине В данного угла (рис. 132, б).
2) Отмечаем точки F и D, в которых окружность (B, R) пересекает соответственно стороны ВА и ВС данного угла.
3) Строим окружности (F, R2) и (D, R2), где R2 > 
FD. Отмечаем точку Т их пересечения, которая лежит внутри данного угла.
4) Проводим луч ВТ. Луч ВТ — искомый. Докажем это.
Рассмотрим треугольники BFT и BDT (рис. 132, в). Эти треугольники равны по трем сторонам (BF = BD и FT = DT — по построению, ВТ — общая сторона). Из равенства этих треугольников следует, что FBT = DBT, т. е. луч ВТ — биссектриса угла ABC.
Построение треугольника по трем элементам
В данном пункте рассмотрим задачи на построение треугольника по: а) двум сторонам, и углу между ними; б) стороне и двум прилежащим к ней углам; в) трем сторонам.
Задача 4 (построение треугольника по двум сторонам и углу между ними)
Постройте треугольник, две стороны которого равны двум данным отрезкам а и b, а угол между этими сторонами равен данному углу hk.
Даны два отрезка а, b и угол hk (рис. 133, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник ABC, две стороны которого, например, АВ и АС, равны соответственно отрезкам а и b, а угол ВАС равен углу hk.
1) Проведем прямую, на ней отложим отрезок АС, равный отрезку b (рис. 133, б).
2) Строим угол CAF, равный углу hk.
3) На луче AF отложим отрезок АВ, равный отрезку а, и проведем отрезок ВС. Треугольник ABC — искомый (рис. 133, в).
По построению имеем, что АС = b, АВ = а и BAC = hk.
При любых данных отрезках а и b и неразвернутом угле hk каждое из построений 1) — 3) выполнимо, т. е. искомый треугольник можно построить. Треугольники, которые удовлетворяют условию задачи и строятся при различном выборе прямой и отрезка АС, равны между собой по двум сторонам и углу между ними, поэтому говорят, что данная за дача имеет единственное решение.
Задача 5 (построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам)
Постройте треугольник, сторона которого равна данному отрезку а, а углы, прилежащие к этой стороне, равны данным углам hk и mq.
Дан отрезок а и два угла hk и mq (рис. 134, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник ABC, сторона которого, например АС, равна отрезку а, а углы ВАС и ВСА равны соответственно углам hk и mq.
1) Проведем прямую и на ней отложим с помощью циркуля отрезок АС, равный отрезку а (рис. 134, б).
2) Строим угол CAF, равный углу hk.
3) Строим угол ACT, равный углу mq.
4) Отмечаем точку В пересечения лучей AF и СТ. Треугольник ABC — искомый (рис. 134, в).
По построению имеем, что АС = a, BAC = hk и ACB = mq.
Для любого данного отрезка а и неразвернутых углов hk и mq каждое из построений 1) — 4) выполнимо, т. е. искомый треугольник можно построить. Треугольники, которые удовлетворяют условию задачи и строятся при различном выборе прямой и отрезка АС, равны между собой по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому говорят, что данная задача имеет единственное решение.
Задача 6 (построение треугольника по трем сторонам)
Постройте треугольник, стороны которого равны данным отрезкам а, b, с.
Даны отрезки а, b, с (рис. 135, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник ABC, стороны которого АВ, ВС и АС равны соответственно отрезкам a, b и с.
1) Проведем прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АС, равный отрезку с (рис. 135, б).
2) Строим окружность (A, a).
3) Строим окружность (C, b).
4) Пусть В — одна из точек пересечения окружностей (A, a) и (C, b). Тогда треугольник ABC — искомый.
По построению АС = с, АВ = а, ВС = b.
Данная задача не всегда имеет решение. Известно, что в любом треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других его сторон. Таким образом, если длина какого-либо из данных отрезков больше суммы длин двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равны данным отрезкам.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Планиметрия (прямая и окружность)
Планиметрия изучется в начальном курсе геометрии и зачастую сводится к решению практических задач без изучения теоретической базы.
В данной статье приводятся альтернативные (подсказкам) решения задач из первого раздела (кроме 1.5) приложения Euclidea (геометрические построения с помощью циркуля и линейки).
Решения задач 1.1, 1.2 и 1.3 основаны на том, что с помощью циркуля и линейки можно построить равносторонний треугольник.
1.1 Построить угол 60° с заданой стороной
1.2 Построить серединный перпендикуляр к отрезку
На данной ограниченной прямой построить равносторонний треугольник
1.3 Середина отрезка
всё, что можно построить с помощью циркуля и линейки, может быть построено с помощью одного циркуля.
Из точки В радиусом АВ описываем окружность.
По этой окружности откладываем от точки А расстояние АВ три раза: получаем точку С, очевидно, диаметрально противоположную А. Расстояние АС представляет собой двойное рассрастояние АВ. Проведя окружность из С радиусом ВС, мы можем таким же образом найти точку,
диаметрально противоположную В и, следовательно, удаленную от А на
тройное расстояние АВ, и т. д.
любое построение, выполнимое на плоскости циркулем и линейкой, можно выполнить одной линейкой, если нарисована хотя бы одна окружность и отмечен её центр.
Проведем прямые PA и PB и отметим точки D и C их пересечения прямой b. Пусть О — точка пересечения прямых AC и BD. Тогда, согласно предыдущей лемме, прямая PO пересечёт отрезок AB в его середине M.
Решением задачи 1.3 по методу Штейнера-Понеселе будет:
1.4 Окружность, вписанная в квадрат
Из точки A, лежащей вне данной полуокружности, опустить на её диаметр перпендикуляр, обходясь при этом без циркуля. Положение центра полуокружности не указано.
Нам пригодится здесь то свойство треугольника, что все его высоты пересекаются в одной точке. Соединим A с B и C; получим точки D и E. Прямые BE и CD, очевидно, — высоты треугольника ABC. Третья высота — искомый перпендикуляр к BC — должна проходить через пересечение двух других, т.е. через точку M. Проведя по линейке прямую через точки A и M, мы выполним требованиек задачи, не прибегая к услугам циркуля.
И опустив перпендикуляр из точки пересечения диагоналей квадрата на ребро, найдём середину ребра.
Это же построение можно использовать для решения задачи 2.9 Окружность, касающаяся прямой
1.6 Найти центр окружности
Плоский угол, опирающийся на диаметр окружности, — прямой.
Определение: касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Рассмотрим задачу 2.8
2.8 Касательная к окружности в точке
Возвращаясь к предыдущей задаче, эту задачу можно решить построив угол, опирающийся на диаметр окружности по теореме Фалеса
Далее, построив перпендикуляр к касательной, найдём диаметр окружности, и, разделив его пополам, найдём центр окружности.
Ещё об одном способе построения касательной к окружности можно узнать из лекции 1.5 курса «Геометрия и группы» А. Савватеева ссылка
1.7 Квадрат, вписанный в окружность
Задача Наполеона
Решим задачу методом Мора-Маскерони.
Построим три окружности радиусом r и две окружности радиусом 
В приложении нет такой операции, как перенос раствора циркуля (равного MO), поэтому необходимо использовать дополнительные построения.
Для того, чтобы построить касательную к исходной окружности, параллельную МО, необходимо произвести построения, которые были приведены выше (построить три окружности радиусом r и две окружности радиусом ), но вместо исходной окружности взять окружность, обозначенную на рисунке синим цветом
Т.о. мы перенесли раствор циркуля (равный МО) в точку А.
Далее из точки А необходимо провести окружность c радиусом МО 