Уравнение плоскости через 3 точки
Вы будете перенаправлены на Автор24
Для начала стоит напомнить, как выглядит общее уравнение плоскости:
$Ax \cdot + By + Cz + D = 0\left(1\right)$,
Также в дальнейшем нам пригодится уравнение плоскости, заданной точкой, лежащей в данной плоскости и нормальным вектором:
Теперь непосредственно к делу.
Уравнение плоскости через три точки можно выразить несколькими способами: с помощью смешанного произведения векторов и выразив сначала нормальный вектор плоскости и используя одну точку.
Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки, через смешанное произведение векторов
Рисунок 1. Плоскость через 3 точки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Соответственно, для того чтобы вычислить это смешанное произведение, необходимо вычислить определитель третьего порядка, каждая строка которого является координатами вышеперечисленных векторов.
Готовые работы на аналогичную тему
Составим определитель, описывающий смешанное произведение векторов:
$\begin
При вычислении этого определителя получается общее уравнение плоскости, проходящей через три точки. Это можно увидеть, раскрыв определитель по первой строке:
$\begin
Уравнение плоскости, заданной 3 точками, через нормальный вектор и точку
Другим альтернативным методом задания плоскости является использование нормального вектора плоскости и точки, принадлежащей данной плоскости.
$[\vec
Данное произведение является нормальным вектором плоскости, для которой составляется уравнение. Полученные координаты нормального вектора можно использовать непосредственно для составления уравнения плоскости.
По сути, два вышеприведённых метода представляют одно и то же, так как в обоих необходимо найти координаты нормального вектора и затем, используя их и координаты третьей неиспользованной точки, получить уравнение самой плоскости.
К данной задаче можно также свести задачу с нахождением уравнения плоскости по уравнениям лежащих в ней параллельных и пересекающихся прямых.
Воспользуемся вторым способом и найдём координаты вектора через векторное произведение. Для этого сначала выразим координаты векторов:
Найдём их векторное произведение:
$0\cdot(x-4)+(-3) \cdot (y-2)+0 \cdot(z+1)=0$.
$-3y+6=0$ — искомое уравнение плоскости.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 14 03 2021
Уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки, не лежащие на одной прямой.
В этой статье мы разберемся с задачей нахождения уравнения плоскости в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, когда известны координаты трех различных точек этой плоскости, не лежащих на одной прямой. Сначала покажем принцип нахождения уравнения плоскости, после чего перейдем к решению примеров и задач, в которых требуется составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Навигация по странице.
Нахождение уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки.
Прежде чем приступать к составлению уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки пространства, вспомним одну аксиому: через три несовпадающие и не лежащие на одной прямой точки трехмерного пространства проходит единственная плоскость. Таким образом, задав три различных и не лежащих на одной прямой точки, мы в трехмерном пространстве однозначно определим плоскость, проходящую через эти точки.
Покажем два способа ее решения.
Первый способ составления уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки 
.
Известно, что общее уравнение плоскости вида 
задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость 
, которая проходит через точку 
, а нормальный вектор плоскости имеет координаты 
. Следовательно, мы можем составить общее уравнение плоскости, если знаем координаты точки, через которую она проходит, и координаты нормального вектора этой плоскости. От этого знания и будем отталкиваться при нахождении уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки .
Итак, из условия задачи нам известны координаты точки (даже координаты трех точек), через которую проходит плоскость, уравнение которой нам требуется составить. Осталось отыскать координаты нормального вектора 
этой плоскости.
Так как нормальный вектор плоскости и любой ненулевой вектор этой плоскости перпендикулярны, то вектор перпендикулярен как вектору 
, так и вектору 
. Следовательно, в качестве вектора можно принять векторное произведение векторов и . Так как 
и 
(при необходимости обращайтесь к статье вычисление координат вектора по координатам точек), то 
. После вычисления записанного определителя, станут видны координаты нормального вектора , и можно записывать требуемое уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Второй способ нахождения уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки .
Очевидно, что множество точек 
определяет в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве плоскость, проходящую через три различные и не лежащие на одной прямой точки , тогда и только тогда, когда три вектора 
и компланарны.
Следовательно, должно выполняться условие компланарности трех векторов и , то есть, смешанное произведение векторов 
должно быть равно нулю: 
. Это равенство в координатной форме имеет вид 
. Оно, после вычисления определителя, представляет собой общее уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки .
Далее, от полученного общего уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки, Вы при необходимости можете перейти к уравнению плоскости в отрезках или к нормальному уравнению плоскости.
Осталось рассмотреть решения примеров, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через три несовпадающие и не лежащие на одной прямой точки.
Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки.
В предыдущем пункте статьи мы рассмотрели два способа нахождения уравнения плоскости, проходящей через три различные и не лежащие на одной прямой точки. Давайте рассмотрим их применение при решении задачи.
Уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки, не лежащие на одной прямой
В рамках этого материала мы разберем, как найти уравнение плоскости, если мы знаем координаты трех различных ее точек, которые не лежат на одной прямой. Для этого нам понадобится вспомнить, что такое прямоугольная система координат в трехмерном пространстве. Для начала мы введем основной принцип данного уравнения и покажем, как именно использовать его при решении конкретных задач.
Как найти уравнение плоскости, которая проходит через 3 заданные точки
Для начала нам необходимо вспомнить одну аксиому, которая звучит следующим образом:
Если три точки не совпадают друг с другом и не лежат на одной прямой, то в трехмерном пространстве через них проходит только одна плоскость.
Иными словами, если у нас есть три разных точки, координаты которых не совпадают и которые нельзя соединить прямой, то мы можем определить плоскость, проходящую через нее.
Зная координаты нормального вектора и координаты точки, через которую проходит плоскость, мы можем записать общее уравнение этой плоскости.
Из этого мы и будем исходить в дальнейшем.
На схеме это будет выглядеть так:
Запишем полученное уравнение в координатной форме:
От полученного в результате уравнения можно перейти к уравнению плоскости в отрезках или к нормальному уравнению плоскости, если этого требуют условия задачи.
В следующем пункте мы приведем примеры того, как указанные нами подходы реализуются на практике.
Примеры задач на составление уравнения плоскости, проходящих через 3 точки
Ранее мы выделили два подхода, с помощью которых можно найти искомое уравнение. Давайте посмотрим, как они применяются в решениях задач и когда следует выбирать каждый из них.
Решение
Используем поочередно оба способа.
Теперь вычислим их векторное произведение. Вычисления определителя расписывать при этом не будем:
Это и есть нужное нам уравнение плоскости, которая проходит через три точки.
Мы получили нужное нам уравнение.
А как быть, если заданные точки все же лежат на одной прямой и нам нужно составить уравнение плоскости для них? Здесь сразу надо сказать, что это условие будет не совсем корректным. Через такие точки может проходить бесконечно много плоскостей, поэтому вычислить один-единственный ответ невозможно. Рассмотрим такую задачу, чтобы доказать некорректность подобной постановки вопроса.
Решение
Векторное произведение будет равно:
Если мы используем второй способ, у нас получится:
Если вы хотите найти хоть один ответ этой задачи из бесконечного множества ее вариантов, то нужно выполнить следующие шаги:
Уравнение плоскости по координатам трех точек: онлайн-калькулятор
Любая плоскость может быть проведена через три точки, не принадлежащие одной прямой. Автоматический сервис находит уравнение плоскости, которая проходит через эти три точки.
Чтобы решить уравнение плоскости по трем точкам онлайн, выполните простые действия:
Zaochnik предоставляет пошаговые вычисления и точный ответ бесплатно.
Как найти уравнение плоскости по координатам трех принадлежащих ей точек с помощью онлайн-калькулятора
Рассмотрим пример, наглядно демонстрирующий работу с онлайн-калькулятором. Пусть нужно найти уравнение плоскости, проходящей через три известные точки. Для этого в онлайн-калькуляторе просто зададим эти точки:
Важно: точки не должны принадлежать одной прямой!
Зададим точки произвольно и нажмем «Рассчитать»:
После этого калькулятор выдаст ответ с подробными выкладками решения:
Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:
Уравнение плоскости онлайн по 3 точкам
Построить плоскость по уравнению онлайн понадобится:
Цель сервиса – помощь в самостоятельных вычислениях учащимся. Автоматическая формула ускоряет получение ответа на задачу, позволяет избежать ошибок и не требует многократной перепроверки одних и тех же действий. Онлайн-калькулятор позволяет осуществлять подготовку к занятиям с усвоением непонятого ранее материала, запоминать и применять готовые алгоритмы решений.
Если возникла необходимость заказать услуги опытных преподавателей по решению уравнений или заданий на другие темы, обратитесь к консультанту. Мы гарантируем оперативный ответ и выгодное предложение.
Как составить уравнение плоскости
Если известны координаты трех точек, через которые проходит плоскость, то запишите уравнение плоскости в виде определителя третьего порядка. Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение плоскости, проходящей через эти три точки, выглядит следующим образом:
│ x-x1 y-y1 z-z1 │
│x2-x1 y2-y1 z2-z1│ = 0
│x3-x1 y3-y1 z3-z1│
Решение: подставляя координаты точек в вышеприведенную формулу, получим:
В принципе, это и есть уравнение искомой плоскости. Однако если разложить определитель по первой строке, то получится более простое выражение:
-62*(х+1) + 93*(у-4) + 62*(z+1) = 0.
Разделив обе части уравнения на 31 и приведя подобные, получим:
Ответ: уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами
Если уравнение плоскости, проходящей через три точки, требуется составить без использования понятия «определитель» (младшие классы, тема – системы линейных уравнений), то воспользуйтесь следующим рассуждением.
Уравнение плоскости в общем виде имеет вид Ах+ВуСz+D=0, причем одной плоскости соответствует множество уравнений с пропорциональными коэффициентами. Для простоты вычислений параметр D обычно принимают равным 1, если плоскость не проходит через начало координат (для плоскости, проходящей через начало координат, D=0).
Так как координаты точек, принадлежащих плоскости, должны удовлетворять вышеприведенному уравнению, то в итоге получается система из трех линейных уравнений:
решив которую и избавившись от дробей, получим вышеприведенное уравнение
Если заданы координаты одной точки (х0, у0, z0) и координаты вектора нормали (А, В, С), то чтобы составить уравнение плоскости, просто запишите уравнение:
После приведения подобных это и будет уравнением плоскости.