Как построить пересечение двух плоскостей

Построение линии пересечения плоскостей, заданных различными способами

Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей. Рассмотрим, как это делается, на следующих примерах.

Найдем линию пересечения плоскостей общего положения α и β для случая, когда пл. α задана проекциями треугольника ABC, а пл. β – параллельными прямыми d и e. Решение этой задачи осуществляется путем построения точек L₁ и L₂, принадлежащих линии пересечения.

Стоит отметить, что в качестве пл. γ удобно использовать как плоскости уровня, так и проецирующие плоскости.

Пересечение плоскостей, заданных следами

Найдем линию пересечения плоскостей α и β, заданных следами. Эта задача значительно проще предыдущей. Она не требует введения вспомогательных плоскостей. Их роль выполняют плоскости проекций П₁ и П₂.

Таким образом, прямая l, проходящая через точки пересечения следов плоскостей, является искомой.

Пересечение плоскостей треугольников

Рассмотрим построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF, и определение их видимости методом конкурирующих точек.

Через прямую BC проводим фронтально-проецирующую плоскость τ: на чертеже обозначен ее след f_0τ. С помощью построений, аналогичных тем, что описаны в пунктах 1 и 2 алгоритма, находим проекции точки K.

Фронтально-конкурирующие точки 4 и 5, принадлежащие ΔDEF и ΔABC соответственно, находятся на одной фронтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₂. Так как (∙)5′ находится ближе к наблюдателю, чем (∙)4′, то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)5 является видимым в проекции на пл. π₂. С противоположной стороны от линии N»K» видимость треугольников меняется.

Горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7, принадлежащие ΔABC и ΔDEF соответственно, находятся на одной горизонтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₁. Так как (∙)6» находится выше, чем (∙)7», то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)6 является видимым в проекции на пл. π₁. С противоположной стороны от линии N’K’ видимость треугольников меняется.

Источник

Задание 2. Построение линии пересечения плоскостей

2.1. Условие задания

По заданным координатам точек А, В, С, D, E, F (Таблица 2) построить горизонтальную и фронтальную проекции треугольников ∆АBC и ∆DEF, найти линию их пересечения и определить видимость элементов треугольников.

2.2. Пример выполнения задания № 2

Второе задание представляет комплекс задач по темам:

1. Ортогональное проецирование, эпюр Монжа, точка, прямая, плоскость: по известным координатам шести точек А, В, С, D, E, Fпостроить горизонтальную и фронтальную проекции 2-х плоскостей, заданных ∆АBC и ∆DEF;

2. Плоскости общего и частного положения, пересечение прямой и плоскости, пересечение плоскостей, конкурирующие точки: построить линию пересечения заданных плоскостей и определить видимость их элементов.

Построить горизонтальные и фронтальные проекции заданных плоскостей ∆АBC и ∆DEF (Рисунок 2.1).

Для построения искомой линии пересечения заданных плоскостей необходимо:

1. Выбрать одну из сторон треугольника и построить точку пересечения этой стороны с плоскостью другого треугольника: на Рисунке 2.1 построена точка М пересечения прямой EF c плоскостью ∆АBC; для этого прямую EF заключают во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость δ;

2. Построить фронтальную проекцию 1₂2₂ линии пересечения плоскости δ с плоскостью ∆АBC;

3. Найти фронтальную проекцию М2 искомой точки М на пересечении фронтальную проекцию 1₂2₂ с фронтальной проекцией E₂ F₂прямой EF;

4. Найти горизонтальную проекцию М₁ точки М с помощью линии проекционной связи;

5. Аналогично построить вторую точку N, принадлежащую искомой линии пересечения заданных плоскостей: заключить во фронтально-проецирующую плоскость β прямую ВС; найти линию пересечения 34 плоскости с плоскостью ∆DEF; на пересечении линии 34 и прямой ВС найти точку N;

6. Определить с помощью конкурирующих точек, для каждой плоскости отдельно, видимые участки треугольников.

Рисунок 2.1 – Построение линии пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками

Рисунок 2.2 – Пример оформления задания 2

Источник

Как построить пересечение двух плоскостей

Построение линии пересечения двух плоскостей.

Одной из основополагающих задач начертательной геометрии является задача на на построение линии пересечения двух плоскостей общего положения. Случаи задания плоскостей бывают разные, но в любом случае вам встретится задача, в которой будет необходимо построить линию пересечения двух плоскостей заданных треугольниками (или другими плоскими геометрическими фигурами). Алгоритм решения такой задачи я и предлагаю рассмотреть сейчас.

(Если же ваши плоскости заданы не треугольниками, а, например, параллельными прямыми, то приглашаю вас прочитать еще один урок, посвященный тому, как найти линию пересечения двух плоскостей.)

Итак, даны две плоскости, заданные треугольниками АВС и DEF. Метод сводится к тому, что бы поочередно найти две точки пересечения двух ребер одного треугольника с плоскостью другого. Соединив эти точки мы получим линию пересечения двух плоскостей. Построение точки пересечения прямой с плоскостью более подробно было рассмотрено в предыдущем уроке, напомню только механические действия:

При помощи наиболее внимательных посетителей сайта удалось найти неточность при определении видимости плоскостей. Ниже приведен чертеж, на котором исправлена видимость линий, ограничивающих плоскости на горизонтальной плоскости проекций:

Вы можете сказать «спасибо!» автору статьи:

пройдите по любой из рекламных ссылок в левой колонке, этим вы поддержите проект «White Bird. Чертежи Студентам»

Автор комментария: Сир_Иван
Дата: 2010-12-19

а я понять не мог никак, спасибо.

Автор комментария: надежда
Дата: 2011-12-13

Автор комментария: Дебердеева
Дата: 2012-01-20

Автор комментария: макс
Дата: 2012-01-23

Автор комментария: Леха
Дата: 2012-03-20

Автор комментария: степан
Дата: 2012-03-30

Автор комментария: Хадыжа
Дата: 2012-03-31

Автор комментария: Саня
Дата: 2012-10-02

Большое спасибо, очень доходчиво написано!

Автор комментария: Алька
Дата: 2012-10-07

Автор комментария: инна
Дата: 2012-10-12

ААААААААААААААААААААААААА. вы спасли меня.

Автор комментария: Степан
Дата: 2012-10-13

Автор комментария: Сан
Дата: 2012-10-17

Автор комментария: Владислав
Дата: 2012-11-05

Вот спасибо, товарищи!)) Отличная статья!

Автор комментария: Всеволод
Дата: 2012-11-07

Хух спасибо выручили и руп в ближайшее время кину

Автор комментария: Дмитрий
Дата: 2012-11-10

Неправильно определена видимость треугольников в плоскости XY. Легко проверить методом конкурирующих точек. [URL=http://www.radikal.ru][IMG]http://s017.radikal.ru/i401/1211/50/b3aba0648f63.jpg[/IMG][/URL]

Автор комментария: Дмитрий
Дата: 2012-11-10

Хотел вставить картинку с пояснениями, а тут тег [IMG] [/IMG] не работает. Пояснения здесь http://s017.radikal.ru/i401/1211/50/b3aba0648f63.jpg

Автор комментария: Александр
Дата: 2012-11-12

To Дмитрий: Согласен, что ошибка в видимости, но только не в XY, а в XZ. Сделал подобный чертез в простеньком 3D редакторе: http://s59.radikal.ru/i163/1211/8b/bc5f07b225d9.jpg Так должно быть. =)

Автор комментария: Александр
Дата: 2012-11-12

Автор комментария: Дмитрий
Дата: 2012-11-12

Александр, возможно, я ошибся. Но давайте проверим видимость в плоскости XZ с помощью конкурирующих точек. В моем примере это G и H см. рис. http://s47.radikal.ru/i118/1211/b9/d29b24b27c65.jpg Кажется все правильно. Поправьте меня если это не так.

Автор комментария: Александр
Дата: 2012-11-12

Да, Дмитрий, сейчас немного подумал и понял, что просто перепутал фронтальный и горизонтальный виды, поэтому все с точьностью наоборот получилось. Вы правы. =)

Автор комментария: Черт
Дата: 2012-11-14

Бред.
Да, согласен. Бред. Так говорят все, это нормально. См. рубрику Юмор

Автор комментария: рома
Дата: 2012-12-07

спасибо большое! мне эта стаття очень помогла. очень доходчиво был показан алгоритм на анимации. спасибо, еще раз:)))

Автор комментария: Антон
Дата: 2012-12-08

А если у меня не получается одна из точек,т.е точка м не лежит на ас,что делать?
Антон, доброго дня. Если вы имеете ввиду, что линия проведенная через 12 проходит мимо АС- просто продлите отрезок АС таким образом, чтоб все же найти точку пересечения этих ПРЯМЫХ. Их отрезки- лишь обозначенная их часть. Так что смелее. Это часто встречается.

Автор комментария: Людмила
Дата: 2012-12-13

Автор комментария: Арман
Дата: 2013-01-14

Автор комментария: Александр
Дата: 2013-01-24

Спасибо огромное! ГИФка просто супер, все понятно)

А ведь есть и те, кому не нравится 🙂 Но я не в силах отказаться от этого «спорта»! Жаль только, что никак не найду времени исправить ошибку.

Автор комментария: Варя
Дата: 2013-01-31

Огроменное Вам спасибо.

Автор комментария: Андрей
Дата: 2013-02-07

Автор комментария: игорь
Дата: 2013-04-18

мне нужно построить пересечение двух непрозрачных фигур треугольника ABC и параллелограмма DEFG. координаты а(185.140.115)b(0.30.45)c(105.0.15)d(165.115.0)e(215.55.30) f(65.25.115) вот вопрос почему один из треугольников не пересекается с параллелограммом и можно ли решить эту задачу!

Автор комментария: Юра
Дата: 2013-09-21

Автор комментария: Сергей
Дата: 2013-12-22

Автор комментария: бес
Дата: 2014-11-16

Автор комментария: Лера
Дата: 2015-10-17

Спасибо огромное! Мучаюсь уже около часа, методичка не помощник, а Ваша гифка все расставила на свои места!

Лера, вы молодец! А ведь что интересно: многие ругают мою псевдонимацию 🙂 Успехов вам!

Автор комментария: Иван
Дата: 2015-11-23

Полностью присоединяюсь к Лере) Ваша гафа просто четкая. Наглядно видно что да как делать. Все супер. Спасибо)

Автор комментария: гость
Дата: 2015-12-28

Автор комментария: Василий
Дата: 2016-10-13

Источник

Взаимное положение двух плоскостей

Плоскости будут параллельными:

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо

В обоих случаях задача заключается в нахождении точек, общих для двух плоскостей.

Плоскости в пространстве могут занимать различное положение. рассмотрим три случая построения линии их пересечения.

Если плоскости занимают частное положе­ние, например, как на рис. 8, являются горизон- тально-проецирующими, то проекцией линии пересечения на плоскость проекций, которой данные плоскости перпендикулярны (в данном случае горизонтальной), будет точка. Фронталь­ная проекция линии пересечения перпендику­лярна оси проекций.

В этом случае одна проекция линии пересечения совпадает с про­екцией проецирующей плоскости на той плоскости проекций, которой она перпендикулярна.

На рис. 9 по­казано построение проекций линии пересечения горизонтально-проецирующей плоскости, заданной следами, c плоскостью общего по­ложения (треугольник ABC).

На горизонтальной проекции (рис. 9) в пересечении следа плоско­сти P_Н и сторон АС и ВС треуголь­ника АВС находим горизонтальные проекции n и m линии пересечения. По линиям связи находим фрон­тальные проекции точек M и N ли­нии пересечения.

При взгляде по стрелке на плоскость V по горизонтальной про­екции видно, что часть треугольника правее линии пересечения МN (mn) находится перед плоскостью Р, то есть будет видимой на фронтальной плоскости проекций. Остальная часть — за плоскостью Р, то есть неви­дима.

Линия пересечения двух плоскостей общего положения

Построение линии пересечения двух плоскостей общего положе­ния осуществляется с помощью дополнительных плоскостей- посредников.

Общий прием построения линии пересечения таких плоскостей за­ключается в следующем. Вводим вспомогательную плоскость (посред­ник) и строим линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными. В пересечении построенных линий находим общую точку двух плоскостей. Чтобы найти вторую общую точку, повторяем построе­ние с помощью еще одной вспомогательной плоскости.

Соединяем полу­ченные точки М и N и определяем взаимную видимость фигур.

Задача. Построить линию пересечения двух плоских фигур, задан­ных треугольниками с координатами вершин:

На рис. 11 дано построение линии пересечения двух треугольни­ков. Решение выполняем в следующей последовательности. Проводим две вспомогательные горизонтально-проецирующие плоскости — плос­кость P через сторону ED и плоскость Q через сторону DF треугольника DEF. Плоскость P пересекает треугольник ABC по прямой 1-2.

В пересе­чении фронтальных проекций 1′-2′ и d’e‘ находим фронтальную проек­цию точки M(m’) линии пересечения. Плоскость Q пересекает треуголь­ник ABC по прямой 3-4. В пересечении фронтальных проекций 3′-4′ и b‘c‘ находим фронтальную проекцию точки N(п’) линии пересечения. Го­ризонтальные проекции этих точек, а следовательно, и линии пересече­ния, находим, проводя линии связи.

Соединяем точки M и N. Взаимную видимость треугольников на плоскостях проекций определяем с помощью конкурирующих точек.

Источник

Взаимное пересечение поверхностей в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Взаимное пересечение поверхностей:

При пересечении поверхностей образуется линия, которую принято называть линией взаимного пересечения поверхностей. Эта линия пересечения принадлежит одновременно двум поверхностям. Поэтому построение линии пересечения сводится к определению точек одновременно принадлежащих обеим поверхностям. Для нахождения таких точек используется в общем случае метод вспомогательных секущих поверхностей. Сущность способа заключается в следующем: Пусть задано две поверхности

Общий алгоритм построения линии пересечения поверхностей:

В качестве посредников могут быть приняты как поверхности, так и плоскости, но целесообразно выбирать такие, которые дают наиболее простые линии пересечения с заданными поверхностями.

Взаимное пересечение поверхностей

Чтобы определить проекцию линии пересечения, необходимо найти проекции точек, общих для этих поверхностей. Их находят способом вспомогательных секущих плоскостей или вспомогательных сфер.

Если рёбра призмы или ось вращения цилиндра перпендикулярны какой-либо из плоскостей проекций, то на этой плоскости проекций линия пересечения совпадает с контуром основания призмы или цилиндра.

Пересечение двух многогранников

По чертежу видим, что только ребро DD’ пресекает поверхность пирамиды. Для определения точек пересечения 5 и б через ребро DD’ проводим горизонтальную плоскость, которая пересекает пирамиду по треугольнику. Точки 5 и 6 получаем, как пересечение DD’ с построенным треугольником.

Полученные точки соединяем с учетом видимости. Видимой считается тот отрезок прямой, который принадлежит двум видимым граням поверхностей.

Как видим, линия пересечения двух многогранников представляет собой пространственную ломаную линию.

Пересечение гранной и кривой поверхности

Линия пересечения гранной и кривой поверхности, представляет собой пространственную кривую линию, с точками излома на ребрах многогранника.

Поэтому сначала определяем точки пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью, а затем промежуточные точки и соединяем их с учетом видимости. На рисунке 9.3 заданы поверхности трехгранной призмы и кругового конуса.

Так как призма фронтально-проецирующая, фронтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией боковых граней призмы, поэтому необходимо построить только горизонтальную проекцию линии пересечения.

Сначала определяем точки пересечения ребер призмы с поверхностью конуса, а затем находим промежуточные точки, принадлежащие линиям пересечения. Для нахождения точек пересечения, используем горизонтальные плоскости посредники, так как они пересекают конус по окружностям, а призму но прямым линиям. Как видим, в данном случае линия пересечения распадается на две отдельные части.

Пересечение двух кривых поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Линия пересечения двух кривых поверхностей, представляет пространственную кривую линию. Поэтому для ее построения необходимо определить ряд точек принадлежащих этой лини.

На рисунке 9.4 заданы поверхности конуса и сферы. Точки строятся при помощи горизонтальных плоскостей посредников, которые рассекают обе поверхности но окружностям.

Обязательно находим опорные точки, к которым относятся высшая и низшая точки линии пересечения и точки границы видимости. Так как оси поверхностей лежат в одной фронтальной плоскости, контурные образующие поверхностей пересекаются в точках 1 и 2 — это и будет высшая и низшая точки. Точки границы видимости лежат на экваторе сферы, поэтому точки 3 и 3′ находим с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости, проходящей через центр сферы. Она рассекает сферу по экватору, а конус но параллели радиуса R.

Взаимно пересекаясь, они и дают точки 3 и 3′ фронтальную проекцию определяем по вертикальной линии связи на плоскости Затем берем еще две вспомогательные плоскости расположенные выше и ниже плоскости и выполняя, аналогичные построения определяем точки 4 и 5 и 5′. Полученные точки соединяем с учетом видимости.

Пересечение поверхностей вращении. Метод вспомогательных секущих сфер

Способ вспомогательных секущих сфер применяется при следующих условиях:

Перед рассмотрением этого способа разберем понятие соосных поверхностей. Соосными называются поверхности вращения, имеющие общую ось. Соосные поверхности пересекаются по окружностям перпендикулярным оси вращения.

На рисунке 9.5 приведены некоторые из них.

Именно то, что поверхности пересекаются по окружностям, которые проецируются в линии и используется в методе сфер.

В данном случае минимальная сфера вписана в конус. Минимальная сфера касается поверхности конуса по окружности, а цилиндр пересекает по окружности. Нужно, иметь ввиду, что проекции окружностей пересечения перпендикулярны осям вращения. Эти две окружности пересекаются в точке . Фактически таких точек две, они совпадают на фронтальной проекции. Для построения промежуточных точек берем вспомогательные сферы радиусов в пределах от

Они пересекают и поверхность цилиндра, и поверхность конуса по окружностям, которые пересекаясь даюг промежуточные точки. Полученные точки соединяются плавной линией.

Здесь построена только фронтальная проекция. Для построения горизонтальной проекции, если это необходимо, точки строят как лежащие на окружностях полученных радиусов.

Теорема Монжа

Рассмотрим вариант, когда минимальная сфера касается двух поверхностей вращения. В этом случае для построения линии пересечения поверхностей используется теорема Г. Монжа, которая формулируется так:

Если две поверхности вращении второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линии их пересечении распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходит через прямую, соединяющую точки пересечении линий касании.

Пересечение поверхностей вращения с многогранниками

Внешние и внутренние формы большинства предметов образуются сочетанием нескольких поверхностей. Пересекаясь между собой, они образуют линии, которые принято называть линиями перехода.

Рисунок 9.1 – Корпус с линиями перехода

Линия пересечения многогранника с телом вращения в общем случае состоит из отдельных участков кривых линий, получающихся при пересечении граней многогранника с поверхностью вращения. Точки перехода от одного участка к другому находятся в пересечении ребер многогранника с телом вращения и называются точками излома. Участок линии пересечения может быть и прямой линией в случае пересечения линейчатой поверхности вращения гранью многогранника по образующей.

При проницании (полном пересечении) получаются две замкнутые линии пересечения. Они могут быть плоскими (поверхность вращения проницает одну грань) или пространственными, состоящими из нескольких плоских кривых с точками излома в местах пересечения поверхности вращения ребрами многогранника.

При врезании (неполном пересечении) получается одна замкнутая пространственная линия.

Таким образом, в соответствии с указанным выше, задачи данной темы решаются по следующему плану:

При построении точек линии пересечения многогранников с телами вращения используют вспомогательные секущие плоскости. Их располагают так, чтобы они пересекали данные поверхности по простым для построения линиям (прямым или окружностям).

Рассмотрим линии пересечения поверхности прямой трехгранной призмы с поверхностью конуса вращения. Боковые грани призмы являются фронтально-проецирующими плоскостями, а ось конуса перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций.

Призму можно рассматривать, как три плоскости, проходящие через ее грани, а задача сводится к нахождению линий пересечения этих плоскостей с конусом.

Пример. Построить линию пересечения поверхности тора с поверх-ностью трехгранной призмы (рис. 9.3).

Решение. Боковые грани призмы являются фронтально-проецирующими плоскостями и фронтальная проекция линии пересечения совпадают с проекцией боковой поверхности призмы. Из фронтальной проекции видно, что в данном случае имеет место проницание тора призмой (две замкнутые линии пересечения).

На рис. 9.3 рассмотрен пример пересечения поверхностей тора и треугольной призмы [2].

По двум заданным проекциям строим третью – профильную.

Рисунок 9.3 – Построение линии пересечения трехгранной призмы с тором

Заданная призма – горизонтально-проецирующая. Так как грани призматического отверстия перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций, то на чертеже известна горизонтальная проекция линии пересечения, она совпадает с вырожденной проекцией поверхности призмы.

Следовательно, линия пересечения совпадает с горизонтальной проекцией основания призмы.

Определяем характерные точки: самую близкую точку 1 фронтальной плоскостью и самые далекие – и 3 фронтальной плоскостью S ().

Определяем промежуточные точки 4 и 5 при помощи вспомогательных фронтальных плоскостей .

Соединяем полученные точки плавной кривой линией с учетом видимости.

Пересечение поверхностей вращения

Линия пересечения двух поверхностей вращения в общем случае представляет пространственную кривую, которая может распадаться на две и более части. Эти части могут быть, в частности, и плоскими кривыми и даже прямыми линиями.

Линию пересечения поверхностей обычно строят по ее отдельным точкам. Точки подразделяются на характерные (опорные) и промежуточные (случайные).

Общим способом построения этих точек является способ вспомогательных секущих поверхностей – посредников. При пересечении данных поверхностей вспомогательной поверхностью определяются линии пересечения ее с данными поверхностями, в пересечении этих линий получаются точки, принадлежащие искомой линии пересечения.

Наиболее часто в качестве поверхностей-посредников применяются плоскости или сферы.

Для определения линии пересечения часто пользуются вспомогательными секущими поверхностями. Поверхности-посредники пересекают данные поверхности по линиям, которые, в свою очередь, пересекаются в точках линии пересечения данных поверхностей.

Секущие поверхности-посредники выбираются так, чтобы они, пересекаясь с данными поверхностями, давали простые для построения линии, например прямые и окружности.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

В качестве вспомогательных секущих плоскостей чаще всего используют плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций.

Положение их выбирают таким, чтобы они пересекали заданные поверхности по простейшим линиям – прямым или окружностям.

Этот способ рекомендуется применять, если сечениями заданных поверхностей одной и той же плоскостью являются прямыми линиями или окружностями. Такая возможность существует в трех случаях:

Пересечение цилиндрической и торовой поверхности

Если одна из поверхностей является цилиндрической проецирующей поверхностью, то построение линии пересечения упрощается, так как в этом случае одна проекция линии пересечения совпадает с окружностью – проекцией цилиндра на перпендикулярную плоскость проекций.

На рис. 9.4 построена линия перехода между цилиндром и тором. Так как поверхность цилиндра перпендикулярна плоскости Н, то горизонтальная проекция линии перехода известна. Она совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра. Фронтальную и профильную проекции строим по принадлежности точек линии перехода не проецирующей поверхности тора.

Линия пересечения заданных поверхностей представляет собой пространственную кривую линию, имеющую фронтальную плоскость симметрии, образованную пересекающимися поверхностями цилиндра и тора.

Рассмотрим линию пересечения поверхности сферы с поверхностью конуса вращения (Рисунок 9.5).

Точки 1 и 7, расположенные на очерках фронтальных проекций конуса и сферы, очевидны и определяются без дополнительных построений.

Точка 4 на экваторе сферы построена с помощью горизонтальной плоскости, пересекающей конус по окружности. В пересечении горизонтальных проекций этой окружности и экватора находится горизонтальная проекция 4′ точки 4 и фронтальная 4» проекции точки 4 определим с помощью линии связи. Точка 4 на горизонтальной проекции разделяет кривую на видимую и невидимую части.

Точки 2, 3, 5 и 6, расположенные в промежутке между характерными точками 1,4 и 7 строим аналогично. С помощью линий связи определим фронтальные и горизонтальные проекции этих точек.

Особые случаи пересечения

Пересечение соосных поверхностей вращения

Соосными называют поверхности вращения, оси которых совпадают. Линия пересечения таких поверхностей строится на основании теоремы о пересечении соосных поверхностей вращения: соосные поверхности вращения пересекаются между собой по окружностям.

Если ось вращения соосных поверхностей перпендикулярна к какой либо плоскости проекций, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде окружности, а на другую плоскость проекций – в прямую линию.

На рис. 9.6 даны примеры пересечения соосных поверхностей вращения (ось вращения параллельна горизонтальной плоскости). На рис. 9.6, а приведены сфера и конус, б – сфера и цилиндр, в – сфера и тор.

Теорема Монжа для пересекающихся поверхностей вращения

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

Для этого случая пересечения поверхностей вращения необходимо выполнение трех условий:

Это положение подтверждается теоремой Монжа: Если две поверхности второго порядка могут быть вписаны или описаны около третьей поверхности второго порядка, то пространственная кривая их пересечения четвертого порядка распадается на две плоские кривые второго порядка.

Способ вспомогательных секущих сфер

При построении линии пересечения поверхностей вращения не всегда удается подобрать секущие плоскости так, чтобы они пересекали поверхности по линиям, проекции которых были бы прямыми или окружностями. В некоторых таких случаях в качестве секущих поверхностей (посредников) целесообразно применять сферы. Этот способ основан на свойстве сферы пересекаться с любой поверхностью вращения, ось которой проходит через центр сферы по окружности.

Чтобы сфера одновременно пересекала две поверхности по окружностям, проецирующимся в прямые линии, необходимо выполнить условия:

Пример. Построить проекции линии пересечения поверхностей конуса и цилиндра (рис. 9.8) [1].

Заданы прямой усеченный конус и наклонный цилиндр – тела вращения. Их оси параллельны фронтальной плоскости проекций и пересекаются в точке О(о′,о), т.е. соблюдены условия метода сфер.

Как и в предыдущих задачах, найдем проекции характерных точек. Точка 1 – самая высокая, точка 2 – самая низкая. Чтобы убедится в этом проведем через оси тел вспомогательную фронтальную плоскость . Эта плоскость рассекает рассматриваемые тела по крайним очерковым образующим, которые на фронтальную плоскость проекции проецируются без искажения и, пересекаясь между собой, образуют искомые точки 1′, 2′. С помощью вспомогательных сфер найдем другие точки линии пересечения заданных поверхностей. Для определения радиуса наименьшей сферы из центра О(о′) проведем две нормали, перпендикулярные очерковым образующим этих тел и большей нормалью выполним эту сферу. Эта сфера будет наименьшей , проведенной в большем теле, поэтому поверхности конуса она касается по окружности, которая проецируется на фронтальную плоскость проекций в виде отрезка m′′n′′, а поверхность наклонного цилиндра пересекает по окружности, фронтальная проекция которой также проецируется в прямую линию k′′l′′. В пересечении k′′l′′ и m′′n′′ получим точку 3′′ – самую глубокую точку пересечения. Для нахождения промежуточных точек проведем ряд концентрических сфер, радиусы которых должны находится в пределе , и аналогично точке 3′′ находим необходимые промежуточные точки.

Учитывая, что сфера минимального радиуса всегда касается той поверхности, которая пронизывается другой, соединим найденные фронтальные проекции плавной кривой. Получим фронтальную проекцию линии пересечения. В нашем случае сфера радиусом касается поверхности конуса, значит, поверхность цилиндра пронизывает поверхность конуса.

Построим горизонтальную проекцию линии пересечения. Т.к. точки 1′′, 2′′ лежат на очерковой образующей конуса, то горизонтальные проекции этих точек находятся на оси конуса, т.е. на горизонтальной проекции этой образующей. Для нахождения горизонтальных проекций точек 3′, 4′, 5′ воспользуемся горизонтальными плоскостями , проведенными через эти точки соответственно. Каждая плоскость рассекает поверхность конуса по окружности, которая на горизонтальной плоскости проекций не искажается. По линиям связи найдем горизонтальные проекции точек 3′, 4′, 5′.

Для правильного соединения точек определим их видимость. Границей видимости на плоскости Н является точка 4′′, лежащая на осевой фронтальной проекции цилиндра. Горизонтальные проекции ее находятся на очерковых образующих цилиндра. Соединив плавной кривой найденные точки, получим горизонтальную проекцию линии пересечения рассматриваемых тел.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Этот способ применим тогда, когда контуры отдельных сечений представляют прямые линии или окружности.

Проведём еще ряд горизонтальных секущих плоскостей и определим проекции других промежуточных точек линии пересечения, которые соединим лекальной кривой с учётом видимости.

При взаимном пересечении конуса и цилиндра (рисунок 1) ось вращения цилиндра перпендикулярна . Значит, на линия пересечения совпадет с контуром основания цилиндра, т.е. фронтальной проекцией линии пересечения будет являться фронтальная проекция цилиндра.

Построив горизонтальную проекцию линии пересечения, на на пересечении горизонтальной оси симметрии цилиндра с проекцией цилиндра наметим точки — точки границы видимости линии пересечения, лежащие на экваторе цилиндра.

Способ вспомогательных сфер

Этот метод можно применять при соблюдении следующих условий :

Сфера проходит через самую дальнюю очевидную точку.

Сфера пересекает тела по окружностям, проецирующимся на одну из плоскостей проекций отрезком.

1. Определяем очевидные точки

1. Проводим ещё ряд секущих сфер радиусом больше минимальной и меньше максимальной и определяем другие промежуточные точки линии пересечения, которые соединяем лекальной кривой с учётом видимости.

Большее тело поглощает меньшее.

2. Видимость линии пересечения определяем следующим образом:

Элементы технического рисования

Обычно технический рисунок выполняется в изометрии.

Технические рисунки получаются более наглядными, если их покрыть штрихами. При нанесении штрихов считают, что лучи света падают на предмет справа и сверху или слева и сверху.

Взаимное пересечение поверхностей с примерами

Алгоритм решения задач по определению линии пересечения поверхностей Ф’ и Ф» (рис. 9.1) в целом аналогичен решению второй позиционной задачи и состоит в следующем:

Рис. 9.1. Пересечение поверхностей

Определение точек линии пересечения поверхностей начинают с построения так называемых опорных точек. К ним относятся:

Способ вспомогательных параллельных плоскостей

Рассмотрим построение линии пересечения прямого кругового конуса и сферы (рис. 9.2).

Рис. 9.2. Линия пересечения поверхностей прямого кругового конуса и сферы

Фронтальные плоскости уровня пересекают поверхность конуса по гиперболам, следовательно, для решения данной задачи нужно применить горизонтальные плоскости уровня, которые рассекают обе данные поверхности по окружностям.

Решение задачи начинают с построения опорных точек. Конус и сфера имеют общую плоскость симметрии γ(γ₁), параллельную плоскости П₂. Поэтому высшая точка A и низшая точка F линии пересечения получаются как результат пересечения очерковых образующих конуса и сферы (рис. 9.3).

Остальные точки определяются с помощью горизонтальных плоскостей уровня. Более подробно разберем построение точек E и E'(рис. 9.4).

2. Построив горизонтальные проекции окружностей m и q, определить точки их пересечения E и E’:
E₁= m₁ × q₁; E₂=E₁E₂α2.
E’₁=m₁ × q₁; E’₂=E_lE₂α2.

Рис. 9.3. Определение опорных точек линии пересечения поверхностей

3. Аналогичным образом определяются остальные точки, формирующие линию пересечения (рис. 9.5,а). Они получены с помощью горизонтальных плоскостей уровня β(β₂), δ(δ₂) и μ(μ₂). Пределы этих плоскостей по высоте определяют высшая и низшая опорные точки линии пересечения поверхностей. Плоскость μ(μ₂)рассекает поверхность сферы по очерковой образующей b (b₂, b₂),поэтому полученные точки В и В’ являются опорными, ограничивающими линию пересечения поверхностей по ширине.

4. Последовательно соединить одноименные проекции полученных точек плавной лекальной кривой. Полученная линия не должна выходить за пределы области перекрытия проекций данных поверхностей.

5. Определить видимость линии пересечения поверхностей и их очерковых образующих.

Поверхность конуса на горизонтальной плоскости проекций полностью видима, следовательно, видимость линии пересечения определяется по поверхности сферы. Видима будет та часть сферы, которая на П₂ лежит выше очерковой образующей b₂.Точки В и В’ на очерковой образующей сферы являются точками смены видимости линии пересечения на плоскости проекций П₁.
Искомая линия пересечения поверхностей конуса и сферы d(d₁,d₂) (кривая второго порядка), полученная способом вспомогательных секущих плоскостей, приведена на рис 9.5,б.

Способ вспомогательных сфер

Способ концентрических сфер

Этот способ применяется для построения линии пересечения поверхностей вращения произвольного вида, при условии, что оси этих поверхностей пересекаются.

В основу способа концентрических сфер положено свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности.

Если центр сферы находится на оси любой поверхности вращения, то сфера соосна с поверхностью вращения и в их пересечении получатся окружности (рис. 9.6).

Рис. 9.7. Линия пересечения поверхностей цилиндра и прямого кругового конуса

Точка пересечения осей поверхностей принимается за центр вспомогательных концентрических сфер.

Алгоритм решения задачи об определении линии пересечения поверхностей состоит в следующем:

1. Определить опорные точки (рис. 9.8). Так как обе данные поверхности имеют общую плоскость симметрии δ(δ₁), параллельную плоскости проекций П₂, то их очерковые образующие, по отношению к плоскости П₂,пересекаются. Точки A(A₁,A₂), B(B₁,B₂), C(C₁,C₂) и D(D₁,D₂) пересечения этих образующих являются точками видимости линии пересечения поверхностей.

2. Определить радиусы максимальной и минимальной сфер, необходимых для определения точек линии пересечения.

Радиус максимальной сферы R_max равен расстоянию от центра вспомогательных сфер до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих, в данном случае Rmax=O₂A₂ (рис. 9.9).

В данном случае сферой минимального радиуса является сфера, касающаяся цилиндрической поверхности (см. рис. 9.9).

Сфера радиусом R_min касается цилиндрической поверхности по окружности m, которая на фронтальной проекции изображается в виде прямой m₂, перпендикулярной q₂(m₂q₂). Эта же сфера пересекает коническую поверхность по двум окружностям. Но, в данном случае, нам интересна только окружность n, так как только она дает решение. Эта окружность n изображается на фронтальной проекции в виде прямой n₂, перпендикулярной i₂(n2i₂). Точки E и Fпересечения этих окружностей будут принадлежать обеим поверхностям:

Чтобы построить горизонтальные проекции точек Е и F следует воспользоваться окружностью n, содержащей данные точки, так как она не искажается на плоскости проекций П₁:

Рис. 108. Определение опорных точек линии пересечения поверхностей

Рис. 9.9. Определение радиусов максимальной и минимальной сфер.

Для построения промежуточных точек линии пересечения проводят несколько концентрических сфер с центром в точке O, причем радиус R этих сфер должен изменяться в пределах R_min

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник