Медиана треугольника
Что называется медианой треугольника?
Определение.
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Как построить медиану треугольника?
1) С помощью линейки найти и отметить середину стороны треугольника.
2) Соединить полученную точку с вершиной, лежащей напротив этой стороны.
Рисунок медианы треугольника:
Как построить медиану треугольника с помощью циркуля и линейки без шкалы, мы рассмотрим позже, в теме «Построить треугольник».
Сколько медиан имеет треугольник?
Так как у треугольника три вершины и три стороны, то и отрезков, соединяющих вершину и середину противолежащей стороны, тоже три. Значит, треугольник имеет три медианы.
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке:
Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника.
В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному, считая от вершины:
Об этом свойстве медиан треугольника, а также о том, как найти длину медианы через длины сторон треугольника, более подробно мы поговорим позже и рассмотрим, как свойства медианы использовать при решении задач.
Кроме того, отдельно будут рассмотрены медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе и медиана равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, поскольку каждая из них обладает своими свойствами, которые надо знать и уметь применять.
Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы
Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы.
Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой.
Тупоугольный треугольник (понятие и определение):
Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.
Рис. 1. Тупоугольный треугольник
∠ BАC– тупой угол треугольника,
Рис. 2. Равносторонний треугольник
АВ = ВС = АС – стороны треугольника,
Рис. 3. Прямоугольный треугольник
Рис. 4. Равнобедренный треугольник
АВ = AС – боковые стороны, BС – основание,
Хотя в тупоугольном треугольнике тупой угол больше 90 градусов, сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусам.
Элементы тупоугольного треугольника:
Кроме сторон и углов у тупоугольного треугольника также имеются внешние углы. Внешний угол это угол, смежный с внутренним углом треугольника. У любого треугольника, в т.ч. тупоугольного, 6 внешних углов, по 2 на каждый внутренний. Внешний угол тупого угла тупоугольного треугольника всегда будет острым углом. Внешний угол острого угла тупоугольного треугольника всегда будет тупым углом.
Рис. 5. Тупоугольный треугольник и внешний угол
Медиана тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника), соединяющая вершину треугольника с противоположной стороной, делит ее пополам, т.е. на два одинаковых отрезка.
Рис. 6. Тупоугольный треугольник и медиана тупоугольного треугольника
MA – медиана тупоугольного треугольника
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Рис. 7. Тупоугольный треугольник и высота тупоугольного треугольника
MС – высота тупоугольного треугольника
Высота тупоугольного треугольника может лежать за пределами треугольника.
Биссектриса в тупоугольном треугольнике (как и в любом другом треугольнике) делит угол пополам. Биссектрисы пересекаются в точке, которая является центром вписанной окружности.
Рис. 8. Тупоугольный треугольник и биссектриса угла тупоугольного треугольника
MA – биссектриса тупого угла тупоугольного треугольника
Кроме того, биссектриса тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника) делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Свойства тупоугольного треугольника:
Свойства тупоугольного треугольника аналогичны свойствам обычного треугольника:
1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Рис. 9. Тупоугольный треугольник
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
Рис. 10. Тупоугольный треугольник с равными боковыми сторонами
3. Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°.
4. Любая сторона тупоугольного треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника
Перечень рассматриваемых вопросов:
Биссектриса угла – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
Биссектриса угла треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Вы уже знакомы с такими понятиями как треугольник, угол, биссектриса угла.
Разберем, как построить биссектрису треугольника, а также узнаем, что такое медиана и высота треугольника.
Начнём с понятия биссектриса угла треугольника. Это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. AF – биссектриса ∠A треугольника ABC.
В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке.
Введём понятие медианы треугольника.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
BM – медиана треугольника ABC.
В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке.
Введём понятие высоты треугольника.
Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
AH – высота треугольника ABC.
В любом треугольнике высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.
Итак, сегодня мы узнали, какие отрезки называются медианой, биссектрисой, высотой треугольника, и научились их изображать с помощью чертёжных инструментов.
Рассмотрим, как можно решить задачу на доказательство, используя понятие «медиана треугольника».
На рисунке изображён треугольник ABC, при этом AD – медиана ∆ABC продолжена за сторону BC, так что AD = DE.
Докажем, что треугольники ABD и CED равны.
По условию в треугольниках ABD и CED: сторона AD равна стороне DE. Т. к. АD – медиана ∆ABC, то, по определению медианы, BD = DC.
∠ADB = ∠CDE (по свойству вертикальных углов).
Следовательно, ∆ABD = ∆CED (по первому признаку равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны).
Что и требовалось доказать.
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BM, которые пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника ABO, если ∠BAC = 50°, ∠ABC = 80°, а сумма углов треугольника ABO равна 180°.
1.Нарисуем рисунок по условию задачи.
2.По условию AD и BM – биссектрисы ∆ABC.
∠BAC = 50°, ∠BAC = 2∠BAO =50° → ∠BAO = 25°
∠ABC = 80°, ∠ABC= 2∠ABO = 80°→∠ABO = 40°
3.Т. к. сумма углов треугольника ABO равна 180°, то ∠ABO + ∠BAO + ∠AOB = 180°.
5.∠AOB = 180° – (25° + 40°) = 115°.
Ответ: ∠BAO = 25°, ∠ABO = 40°, ∠AOB = 115°.
В треугольнике COD: ∠O = 90°. Найдите ∠МОВ, если ОА – биссектриса угла ∠СОM, при этом ∠COА = 20°, а ВО– биссектриса ∠МОD.
1.По условию ∠СОD = 90°.
Кроме того, ОА – биссектриса угла ∠СОM → ∠МОА = ∠СОА = 20°.
2.ВО – биссектриса ∠МОD→∠ВОD = ∠МОВ.
3. ∠СОD = ∠МОА + ∠СОА + ∠ВОD + ∠МОВ = 20° + 20° + 2∠МОВ = 40° + 2∠МОВ = 90°.
Определение и свойства медианы треугольника
В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.
Определение медианы треугольника
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.
Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).
Свойства медианы
Свойство 1 (основное)
Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.
В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:
Свойство 2
Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.
Свойство 3
Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
Свойство 4
Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.
Свойство 5
Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).
Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:
Примеры задач
Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.
Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:
Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы
Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.
Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.
Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.
В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.
А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?
Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.
Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.
У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.
1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».
Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.