Как построить квадрат в круге

Техническое черчение

Popular

Основы черчения

Строительное

Машиностроительное

Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего прово­дим стороны 5—6 и 3—2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину—точку 1 и проводим диаметральную линию 1—4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4—1 и 3—2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1—2 и 4—3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вер­шины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB.

Получим точку 1—вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведён­ными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиу­сом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с про­должением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, прово­дим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересече­ние которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведе­ния лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоуголь­ников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно произ­водить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэф­фициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты.

Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

Источник

Геометрия как искусство: 4 и 8 (часть третья)

Эта статья — продолжение цикла переводов, посвященных геометрии и тому, как она работает в искусстве. О том, чем рисовать и как читать схемы, можно прочитать в предыдущих частях (инструменты и базовые построения).

Прим.пер. — Если кому-то неинтересно возиться с карандашом и циркулем, в комментариях к оригиналу подсказывают, что с построениями можно попробовать поиграть в Adobe Illustrator. С точки зрения практической реализации я не советчик, но идея симпатичная. Дерзайте)

Сегодня разбираемся с геометрией чисел 4 и 8, то есть строим квадраты, октагоны, октаграммы и несколько узоров, на них основанных. Но для начала определимся с терминами:

Если для каждого числа сторон существует единственный правильный выпуклый многоугольник, то звездчатых, наоборот, будет несколько, в зависимости от того, как соединяются точки. Чем больше лучей, тем больше вариантов. (прим. пер. – Вообще, кому интересно, на википедии написано чуть подробнее, и есть понятная картинка)

Еще два понятие, которые мы часто будем использовать для описания фигур – статическая и динамическая. Статическая лежит на своей стороне, динамическая – опирается на угол.

Эти определения довольно точно выражают чувства, которые вызывают эти фигуры. (Да, геометрия и чувства в одном предложении, вы не ослышались.)

При построении любой фигуры мы должны сперва решить, будет ли она статической или динамической, так как от этого будет зависеть выбор метода построения. И не только от этого: мы далеко не всегда начинаем с нуля, часто нужно вписаться в имеющиеся построения, начать с заданной точки, сегмента, окружности, соотношения. Каждая из этих ситуаций требует особого подхода.

Я не буду рассматривать все, потому что тысячи их, но покажу как минимум по паре для каждой фигуры, чтобы вы попробовали строить всякие штуки по-разному.

Фигуры

Квадрат (лежащий на одной из сторон)

В соответствии с заголовком этот метод используется, когда одна из сторон квадрата задана или когда вам надо с чего-то начать (в этом случае до Шага 1 проведите сторону, на которой будете строить свой квадрат).

Шаг 1

С раскрывом циркуля на АВ проведите дугу с центром в А. Во всех дальнейших построениях раскрыв циркуля останется неизменным.

Шаг 2

Переместите иглу в точку В и проведите дугу, пересекающую первую в точке С.

Шаг 3

Переместите иглу в точку С и проведите дугу, также пересекающую первую (с центром в А) в точке D.

Шаг 4

Переместите иглу в D и проведите дугу, пересекающую проведенную в шаге 3 в точке E.

Шаг 5

Соедините Е и А, чтобы найти F. В это мы проделали для того, чтобы найти перпендикуляр к АВ через точку А.

Шаг 6

Последняя дуга: поместите иглу в точку F и проведите дугу, чтобы найти точку G. Эту дуга будет пересекать дугу с центром в В.

Шаг 7

Соедините G, Fи B, чтобы закончить построение квадрата.

Хотя описанный метод и полезен, я заметила, что традиционно в искусстве отдают предпочтение другому, тому, где построение начинается от заданной окружности. Возможно, это дань символизму, напоминание о Единице (символ которой – окружность), начале всех начал, а возможно, он просто более ясный.

Однако, совсем отказываться от предыдущего метода не стоит. Если все, что у вас есть, это древнющий ржавый циркуль, раскрыв которого раз и навсегда установил еще ваш прадедушка, то следующий метод вам не подойдет.

Динамичный квадрат (вписанный в окружность)

Наша отправная точка– окружность с одним проведенным диаметром. Начали вы с диаметра или с окружности – неважно.

Шаг 1

Постройте перпендикуляр к диаметру, делящий его пополам, как во второй части(ссылка). Начните с рисования двух пересекающихся дуг…

Шаг 2

… и соедините две точки пересечения. Перпендикуляр пересечет окружность в двух точках, и мы таким образом получим 4 определенные точки на окружности.

Шаг 3

Статический квадрат (на основе вписанной окружности)

Шаги 1-2

Те же, что в прошлый раз: начинаем с круга с горизонтальным диаметром, ищем перпендикуляр так, чтобы окружность оказалась разделена на 4 части.

Шаг 3

Устанавливаем раскрыв циркуля равным радиусу и проводим две дуги с центрами в двух начальных точках. Точкой соприкосновения дуг окажется центр окружности.

Шаг 4

Повторяем то же для двух точек, полученных после построения перпендикуляра. Эти 4 дуги определяют 4 точки, лежащие вне окржности.

Шаг 5

Теперь только два шага отделяют нас от того, чтобы получить две четырехконечные звезды.

Статическая и динамическая четырехконечные звезды

Шаг 6

Соедините 4 точки, лежащие на окружности с 4 углами статического квадрата, как показано на рисунке:

Шаг 7

Обведите нужную вам звезду.

Статические октагон и октаграмма (вписанные в квадрат)

Шаг 1

Начните с квадрата, проведите диагонали.

Шаг 2

Установите иглу в А и с раскрывом циркуля от А до центра квадрата найдите две точки на сторонах квадрата.

Шаги 3-5

Повторите шаг 2 для точек В, С и D.

Шаг 6

Для октагона: соедините восемь найденных точек.

Для октаграммы соедините точки как показан на рисунке. Получится, что вы соединяете точки через одну. Обратите, что классическая октаграмма образована при взаимном повороте двух квадратов.

Еще одну октаграмму можно получить, если пропускать точки через две.

Обратите внимание, что меньшая октаграмма точно вписывается в большую.

Динамичный октагон (вписанный в круг)

Шаги 1-4

Такие же, как при построении статического октагона. Остановитесь до момента, когда нужно соединять точки.

Шаг 5

Соедините внешние точки по диагонали. Диагонали пересекут окружность в новых 4 точках, то есть теперь она разбита на 8 частей.

Шаг 6

Для динамичного октагона соедините эти 8 точек.

Для динамичной октаграммы соедините точки через одну, как показано ниже, нарисовав два квадрата.

плитки из центрального Ирана, XIV век

Узоры

До настоящего момента мы строили только отдельные фигуры, теперь у нас достаточно знаний, чтобы начать складывать из этих фигур мозаичные узоры. Что еще нужно знать перед началом работы с мозаикой: только квадраты, а также равносторонние треугольники и шестиугольники складываются друг с другом, не оставляя между собой пустот.

Все прочие, включая октагоны, приведут к появлению промежутков различной формы. Это является недостатком, например, при выборе формы упаковки, поскольку при перевозке проявляется нерациональное использование пространства. В случае с искусством никакой это не недостаток: небольшие пространства работают в противовес крупным формам, позволяя создать контраст по цвету и размеру, или, наоборот, в слиянии получить новые необычные формы.

Но вернемся к нашему упражнению. С использованием восьмиугольных форм можно получить три различных простых узора на основе общей базовой структуры. Структура эта основана на четырех окружностях вокруг пятой, а, следовательно, образует сетку из квадратов, которая также носит название сетки пяти окружностей. Позвольте заметить, на случай если вам попадется термин, что структуры (сетки) на основе квадратов также носят название √2-сетки. Все эти термины значат, что мы работаем с числами 4 и 8 (и 12, и 16, и далее по мере прибавления 4).

При построении сетки невозможно переоценить важность очень точной работы, особенно теперь, когда от фигур мы переходим к узорам. Убедитесь, что карандаш как следует заточен и не спешите.

Сетка пяти окружностей

Шаг 1

Нарисуйте отрезок по горизонтали и окружность, центр которой лежит на этом отрезке, имея ввиду, что стороны квадратов в сетке равны диаметрам окружностей, и эта первая окружность будет центром сетки.

Шаг 2

Найдитеипостройтеперпендикуляр. Он должен быть как минимум равен отрезку, но может быть и длиннее.

Шаги 3 и 4

Следующий шаг – знакомые нам дуги, только в этот раз рисуйте полные окружности. В итоге у нас должна получиться основа основ: пять окружностей, которые дали сетке имя.

Шаг 5

Постройте еще 4 окружности с указанными на рисунке центрами…

Шаг 6

Шаг 7

И еще восемь с центрами, указанными на рисунке ниже. Обратите внимание, что центры новых окружностей окажутся в точках пересечения предыдущих. Таким образом структуру можно расширять до бесконечности, но мы пока добавим только еще один блок.

Шаг 8

Впишите стеку в квадрат, добавив окружности по углам.

Теперь у нас есть 25 окружностей, но большинство было нужно только чтобы построить сетку. Для начала работы над узором нам понадобится только 9 соприкасающихся окружностей, вписанные в соответствующие квадраты.

Шаг 9

Последний шаг в построении сетки – добавить диагонали. Углов у окружностей нет, но есть точки соприкосновения. Их и соединяем, сначала в одну сторону…

Добавляем недостающие соединением точек пересечения уже построенных диагоналей с окружностями по углам сетки.

Теперь перед нами сетка, которая ляжет в основу всех следующих построений. Можно еще построить квадрат, в который впишется сетка целиком, но это необязательно.

Узор из динамичных октагонов

Дополнительные построения не требуются: каждая окружность уже разделена на 8. Все, что от вас требуется, — соединить точки в каждой окружности.

Узорчатый пол в гробнице Итмад-Уд-Даулы, фото Дэвида Кастора (David Castor)

Дыхание милостивого

Это поэтическое название принадлежит узору, в котором октаграммы прилежат друг к другу, образуя крестообразные пустоты. Отправная точка снова сетка пяти окружностей.

Шаг 1

Динамичные квадраты уже есть – они образованы диагоналями. Добавляем горизонтальные стороны вторых квадратов…

Шаг 2

Шаг 3

Теперь обводим звезду, образованную наложением квадратов.

В том, что получилось, можно увидеть, откуда появилось название узора: октаграммы – “выдыхающие” квадраты (они расшираются), кресты – “вдыхающие” (они сжимаются).

Плитки из узора (развернутого на 45º), найденные в Иране, фотограф ean-Pierre Dalbéra.

Узор из статичных октагонов

Этот узор основан на статичных октагонах, которые мы уже научились строить немного раньше. Осталось только привязать наше умение к сетке. К счастью, нам нужно построить только самые удаленные от центра точки, все остальное сойдется само.

Шаг 1

Иглу циркуля устанавливаем в вершину внешнего квадрата и берем раскрыв, равный расстоянию от этой точки до центра ближайшей угловой окружности. Отмечаем на сторонах квадрата две точки.

Повторяем аналогичные построения для всех угловых окружностей и получаем еще 6 точек.

Продолжаем построения с иглой циркуля во внешних вершинах квадратов, образованных диагоналями.

Использование более мягкого карандаша позволит вам лучше понять, как новые линии ложатся на имеющуюся сетку: соедините им периферийные точки, которые вы только что наметили. Это новая сетка с новыми пересечениями.

Соедините эти пересечения, чтобы получить восьмиугольники, лежащие на одной стороне.

И напоследок: вот какой узор получится, если вы соедините лини, по которым октагоны накладываются друг на друга:

На сегодня все. Оперируя только числами 4 и 8 мы научились строить квадраты и октагоны, а также четырех- и восьмиконечные звезды, структуру на основе квадратов и 4 узора на основе этой структуры (а их можно придумать гораздо больше, чем 4).

В следующий раз все то же самое проделываем с числами 6 и 12.

Источник

Содержание

Нахождение квадратуры означает просто нахождение площади фигуры или поверхности. Математики Древней Греции под нахождением площади какой-либо фигуры понимали построение квадрата равновеликого этой фигуре – отсюда и пошло название. В современной математике для этого чаще используют термин «интеграл», но для классических задач и сейчас используют прежний термин. Таким образом задача нахождения квадратуры круга – это задача нахождения его площади, для чего могут быть использованы разные способы. Однако термин «квадратура круга» имеет вполне определённый и устойчивый смысл, сохранившийся от пифагорейской школы – построить именно квадрат равновеликий кругу, а не просто вычислить его площадь. Поскольку Пифагор и его ученики воспринимали всю математику и в частности геометрию как философию, т. е. инструмент для постижения законов мира через закон соответствий, то давайте и мы попробуем отнестись к поставленной задаче по-философски и рассмотреть её с разных сторон.

Углубиться в смысл квадратуры круга нам поможет понимание составных частей или понятий, описывающих круг и квадрат. Размышление над каждым из них в отдельности и на сопоставление с аналогом во второй фигуре способно раскрыть немало тайн.

Геометрическое решение

Построение квадрата равновеликого по площади кругу – задача непростая, поскольку особенности этих геометрических фигур требуют для построения разные инструменты.

Круг определяется тремя параметрами: центральной точкой, множеством точек равноудалённых от центральной и расстоянием от этих точек до центральной. В геометрии для этого определены соответствующие понятия: центр, окружность и радиус.

Квадрат определяется длиной стороны и прямым углом, образованным при соединении каждой пары смежных сторон.

Некоторые математики закрывали вопрос на этом этапе, делая вывод, что задача построения квадратуры круга неразрешима. Если исходить из узкой задачи графического построения квадрата равновеликого кругу при помощи циркуля и линейки, то – да, задача невыполнима, но геометры занимались вычислениями не только для практических строительных и инженерных целей, как философы они занимались изучением самих свойств фигур и способов их измерения, а также старались с помощью этих наглядных примеров изучать незримые соотношения и законы, полагая, что они имеют схожие свойства.

Язык математики – это язык символов, хорошо подходящий для формализации (то есть конкретного описания) разных областей знания. Некоторые области знания сложно понимаемы в собственных терминах. Описательный способ выражения мысли может быть очень долог и запутан, в то время как математические символы и действия позволяют сократить мысль до краткого состояния – формулы.

Давайте попробуем рассмотреть квадратуру круга как одну из таких формул, наглядно иллюстрирующую довольно сложные понятия в разных отраслях знания.

Космогоническое решение

Круг представляет целостность будущего мира, всю полноту информации о нём: все законы, объекты и процессы. Он представляет вселенную до её проявления, а также её потенциал или идеал во время проявления.

Диаметр – это два радиуса, направленные строго в противоположных направлениях. Поэтому он хорошо подходит как символ двойственности, полярности и идеи противоположностей. Любые два радиуса делят площадь круга на две части, но только диаметр делает эти части равными, что тоже является хорошей иллюстрацией двойственности, причём двойственности равновеликой. Количество диаметров в круге бесконечно, но в тоже время все диаметры ограничены одной и той же общей для всех окружностью. Это свойство ограниченной бесконечности хорошо подходит для иллюстрации закона двойственности, проявляющегося во всех процессах единой вселенной: и в спиральных движениях космических тел (притяжение-отталкивание), и в материально-духовном (или энергетическом) строении всех объектов, и в нравственном ежедневном противостоянии добра и зла, и во всех остальных случаях, когда для каждого явления мы можем найти его противоположность. В виду того, что противоположности задают движение (или преобразование) от одного крайнего состояния к другому, диаметр хорошо подходит в качестве символа для любой творческой мощи.

Круг с диаметром – это начало проявления мира. Это определение условий и правил, по которым он будет проявляться, начало выявления всех пар противоположностей из состояния единосущности, это переход от «не было» в «стало», от покоя в движение, от однородности в разнообразие, от нечисла к числам и перечислениям и т. п.. Это определение законов до появления объектов – так называемое «первичное творение». Этот символ связывает идею (круг) и её проявление (квадрат). Он символизирует переходные или подготовительные процессы, вернее, он символизирует завершение подготовки мира к проявлению, в то время как начало подготовки символизируется центральной точкой в круге. После того как диаметр в круге определился начинается проявление.

Квадрат представляет сам мир, как мы его воспринимаем. С одной стороны, это совокупность всех объектов и явлений, с другой – совокупность всех субъективных представлений об этих объектах и явлениях. Другими словами, это всё, что мы можем наблюдать и ощущать, а также все наблюдатели с их мнениями и представлениями об увиденном и прочувствованном. Это «вторичное творение» или выявление идей в определённых формах.

Космогоническое решение построения квадратуры круга, таким образом, заключается в построении видимого [3] мира. Этот процесс укрупнёно имеет четыре аспекта (и это одна из причин, почему он символизируется квадратом):

Очерёдность перечисления довольно условна, поскольку нам сложно представить любой из них в обособленности от остальных. Обычно их представляют в приведённой последовательности, чтобы отразить ещё и процесс понижения энергетической составляющей мира, за счёт возрастающего преобладания материальной составляющей. Другими словами, перехода энергии в материю, движения в объект, силы в форму и т. п.. Эти стадии (если их так воспринимать) не завершаются при появлении следующей, но являются постоянным источником и наполнением друг друга. Они дополняют или выявляют особенности друг друга, поэтому графически это лучше проиллюстрировать квадратом с обеими диагоналями.

Философское решение

Форма любой фигуры – это внешние ограничения, определяющие её свойства. Площадь фигуры – это её внутреннее содержание, смысл и наполнение. Форма определяет, то как именно будет выражен смысл. Неизменяемость площади в разных формах означает неизменность смысла при разных его выражениях. Эта мысль, наглядно выраженная в геометрических понятиях, соответствует одной из основных мыслей теософии: все мировые религии и философии имеют один источник и выражают те же нравственные и космические законы, но разными словами. Размышление над квадратурой круга помогает нам глубже понять идею Единой Жизни, проявляющейся в разных формах. Построить квадрат равный кругу по площади – это значит отразить в нём суть и смысл круга, т. е. всё, что содержалось в круге, смочь передать в другой форме, найдя соответствующие аналогии и сумев адекватно перенести (или отразить) каждую особенность круга в квадрат.

Графическое изображение этих фигур одинаковой площади, наложенных друг на друга, подчёркивает одну важную особенность: их формы выходят одна за другую. Это означает, что в каждой форме есть точки не принадлежащие другой и таким образом делающие эту форму уникальной. И тем не менее, несмотря на уникальность формы, содержание их совпадает, так как площади (то есть совокупность всех точек) равны. Это наглядное изображение позволяет перейти к двум любопытным размышлениям:

1) Это хорошая иллюстрация для Единства во множестве. На этом простом примере мы можем получить представление о том, как Единая Жизнь может отражаться во всём многообразии форм не меняясь в своём естестве.

2) Эта же иллюстрация поможет приблизиться к пониманию Всемирного Братства. Не только людей, но и всех существ. Мы все разные. Наши формы: физические, чувственные и мыслительные – все уникальны и индивидуальны, но все они лишь отражение Единой Жизни. Мы легче понимаем тех, чьи интересы и мировоззрение совпадают с нашими, т. е. там, где площади наших фигур пересекаются. Однако там, где форма другого человека выходит за наши рамки, там начинается непонимание, но там же и начинается расширение нашего сознания, наше развитие.

Философское понимание квадратуры круга даёт ключ к пониманию универсальных символов, позволяя заглянуть за их форму и увидеть их суть (площадь). Поразмыслив на примере простых плоских геометрических фигур над тем, в чём именно может быть их смысл одинаков при всём очевидном различии форм, любитель мудрости сможет легче понять тождественность более сложных символов.

Богословское решение

Давайте ещё раз, но несколько по-иному взглянем на те части двух фигур, которые выходят за границы друг друга. От круга остались четыре усечённые части, называемые в геометрии сегментами. От квадрата остались четыре треугольника, одной стороной в которых является дуга. Радиус кривизны этой дуги, будучи продолжением того же круга, равен радиусу искривления сегмента. То есть внешняя сторона одной особенности является внутренней для другой. В богословском толковании это можно объяснить как то, что Бог (круг) проявляется (окружность) в каждом существе (квадрат или любая другая фигура) как его внутренняя природа. Также это означает, что Бог, выходя своей мощью за пределы нашего понимания (внешние сегменты круга), в то же самое время может быть обнаружен и внутри нашей собственной природы (дуга треугольника).

Особый интерес вызывают части квадрата, выходящие за круг. Если круг – это символ всеохватывающего и всевмещающего Бога, обладающего всей полнотой знания и беспредельной мощью, тогда что же может быть вне его? К этому вопросу можно дополнить схожий: «Зачем всё вмещающему Абсолюту (в котором находится всё, что было и всё, что будет) проявляться, какова цель и смысл всего, что происходит, если результат уже известен?»

Возможным ответом на эти запредельные для человека вопросы может быть опыт. Опыт – это проверенное знание, прожитое и прочувствованное. Можно подробно описать путь восхождения на вершину горы. Можно знать все особенности гор, их флору и фауну, минералы, состав воздуха и климатические особенности. Можно чётко представлять все физиологические особенности человека, выполняющего тяжкий подъём: напряжение мышц, потоотделение, учащённое сердцебиение и т. п.. Можно иметь полное представление о всех трудностях и опасностях. Можно, наконец, понять тот восторг, который ощущает путник, поднявшись на вершину и созерцающий необъятные просторы. Каждую подробность этого пути можно знать и объяснить, но всё же знание не будет полным, если размышляющий не испытал этого сам. Именно опыт проявляет разницу между теорией и практикой, идеалом и жизнью, мечтами и действием.

Если мы хотим увидеть какой-то смысл в делах Бога, то опыт может быть подходящим ответом к квадратуре божественного круга. Давайте рассмотрим подробнее, какие значения можно придать символам, чтобы более точно и полно представить этот сложный метафизический процесс, чтобы он стал для нас нагляднее и понятнее.

Круг – символ божественного мира или, коллективно, – Бога. Квадрат – символ мира проявленного, мира форм.

Площадь круга – это совокупность всех законов, а площадь квадрата – это проявление этих законов. Первое содержит прообразы всех вещей и всех возможных их изменений, второе выявляет эти прообразы в объекты (предметы, вещи, существа и т. п.) и реализует все процессы их преобразований. Можно сказать, что площадь круга – это судьба мира (его карма, потенциал), а площадь квадрата – это жизнь, которая проявляет эту судьбу, делает её объективной или состоявшейся. Таким образом, построение квадратуры круга – это ничто иное как эволюция, процесс усовершенствования проявленного мира, выявление божественного замысла во всей его полноте.

Интересное геометрическое определение Бога, известное нам через Блеза Паскаля, позволяет более глубоко приникнуть в суть божественной природы. Он сказал: «Бог – это круг, центр которого везде, а окружность нигде».

Центр круга – это точка равновесия, покоя или потенциальность всего. Она является источником всех будущих проявлений. Это лайя-центр, состояние непроявленности, однородности (недиффиренцированности). Любая точка пространства содержит возможность проявления, поэтому центр круга находится везде.

Радиус – это мощь распространения божественной силы, это выявление потенциальности, это движение и деятельность как таковые. Радиус является мерой удаления проявления от источника. Поскольку эта деятельность распространяется с одинаковой силой в каждом направлении пространства, то мы можем говорить о бесконечном множестве радиусов, образующих собой окружность, а если принять во внимание движение, то бесконечно много концентрических окружностей. Примечательно, что одним из значений слова радиус (лат. radius) является «луч», т. е. направленное движение, имеющее источник и не имеющее окончания, а не ограниченный отрезок, соединяющий две точки.

Окружность определяется как совокупность точек, равноудалённых от центра. Также и божественная мысль (или мощь) распространяется одинаково по всем направлениям. Как предел круга, или как его максимальную мощность, окружность представляют самые высшие иерархии божественных сил, они выражают мощь Бога, являются его самыми высшими представителями. По сути, когда мы говорим или пытаемся представить Бога, мы имеем в виду его проявление, т. е. результаты некоей деятельности, и так как она присутствует в каждой точке пространства, то окружность (край, за которым уже нет круга) невозможно определить. Другими словами, она нигде.

В совокупности все эти понятия (характеристики круга) представляют божественный мир, называемый коллективно Богом. Когда Бог начинает действовать, то в пространстве появляется источник энергии, он же источник искривления пространства и он же источник излучения материальных частиц. Другими словами, появляется центр круга. Одновременно с этим появляется и окружность. Тем и хорош круг как символ, что он наглядно показывает, что в каждой точке пространства мощь божественной природы может быть проявлена и степень проявления определяется бесконечным радиусом – лучом. Дополнительной иллюстрацией к этому может служить любой источник света, испускающий свои лучи во все стороны.

Теперь, описав значение символов круга, если мы хотим выразить идею воплощения божественной мысли в проявленном мире, то нам нужно взять радиус и, используя эту величину, построить квадрат, найдя подходящую аналогию. Таким образом, если мощь круга определяется радиусом, то мощь квадрата – длинной стороны. Построив квадрат со стороной равной радиусу, мы получим символ реализации божественной мысли в мире форм. По этому построению становится очевидно, что не всю полноту божественной мысли удаётся реализовать (поскольку площади фигур разные), некие смыслы (идеи) остаются за гранью проявления. Для того чтобы их постичь, необходимо выйти за пределы проявленного мира, что возможно только благодаря мета-физическому мышлению.

В проявленном мире божественная идея реализуется в форме квадрата, сторона которого равна радиусу, но, чтобы эта форма проявленного мира соответствовала по содержанию (площади) божественной форме, мы должны добавить некий математический коэффициент, который привёл бы в соответствие проявленную идею и идею непроявленную. Чтобы одно соответствовало другому, нужно решить задачу квадратуры круга: надо сопоставить божественную мысль с ней же, проявленной в нашем мире. Несоответствие очевидно: наш мир несовершенен, происходит постоянное искажение божественных законов. Чтобы он был совершенен, нам нужно превзойти окружа­ющие нас обстоятельства, поскольку все обстоятельства нашей жизни – это лишь попытки проявить мир совершенный. Чтобы дотянуться до совершенного божественного мира, нам нужно в своём восприятии событий фактически выйти за пределы очевидностей. Только в этом случае мы сможем понять её и попытаться воплотить. Графически это хорошо представлено тем, что круг выходит за пределы квадрата и квадрат выходит за пределы круга.

Несомненное преимущество и польза геометрии в том, что она наглядно может представить сложные идеи. Так в простом изображении квадратуры круга мы можем увидеть иллюстрацию процесса познания или совершенствования – это выход за пределы какой-либо фигуры. С помощью математических формул мы видим, что есть некоторое конкретное выражение тех усилий, которые мы должны сделать, чтобы выйти за пределы ограничивающих нас форм. Так же как существует определённая скорость (числовая характеристика движения), чтобы преодолеть притяжение Земли и Солнечной системы (первая и вторая космические скорости), некая объективная характеристика наших усилий, – также и здесь есть некая характеристика сил внутренних, позволяющая преодолеть мир форм и войти в мир божественный. И эта характеристика выражается числом пи.

Таким образом, богословское решение для построения квадратуры круга заключается в том, чтобы отразить и увидеть в повседневных явлениях жизни, в нашем ежедневном опыте всю полноту и целостность божественного замысла. То есть для каждого явления найти его место и смысл в общей системе. Другими словами – познать Единую Жизнь. Вернее не познать, а познавать, поскольку значение числа пи можно уточнять бесконечно, также как и наше понимание жизни.

В заключении статьи можно кратко привести ещё несколько решений квадратуры круга в других областях:

Таким образом, используя закон соответствий, можно найти квадратуру круга в разных сферах деятельности человека. Когда мы понимаем, что всё в мире взаимосвязано, тогда легче понять как этот мир устроен. В этом суть теософии – убедительно показать, что в мире существует лишь Единая Жизнь, и всё, на что мы можем обратить свой взор, – это её проявления. Разнообразнейшие, порой кажущиеся нам несовместимыми явления, не похожие друг на друга как квадрат не похож на круг, и тем не менее, всё это разнообразие – это лишь виды проявления Единой Жизни, это одна площадь во множестве форм.

Источник