Кусочные функции. Как построить график кусочной функции
Кусочными функциями называют функции, которые заданы разными формулами на разных промежутках.
Другими словами, на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам.
Пример. Построить график кусочной функции \(y=\begin
Отметим их на координатной плоскости:
2) Построим вторую функцию на области \(x∈(-1;∞)\).
Для начала проверим «состыкуются» ли графики, для этого найдем значение функции \(y=x^2-4x\) в точке \(-1\):
\(y(-1)=(-1)^2-4\cdot(-1)=1+4=5\) – значение такое же, как в первой функции, значит графики состыкуются.
Отметим эту точку на графике и проведем через неё ось симметрии параболы.
Найдем значение в точке \(1\) и \(0\):
\(y(1)=1^2-4\cdot 1=1-4=-3\)
\(y(0)=0^2-4\cdot 0=0\)
Отметим точки \((1;-3)\), \((0;0)\) и симметричные им на координатной плоскости.
Соединим первый график и получившиеся точки в одну плавную линию.
Готово. График кусочной функции построен.
Как не должна выглядеть кусочная функция:
Здесь парабола заехала на территорию гиперболы, а гипербола заехала на территорию параболы, так быть не должно! У каждого кусочка – своя территория.
Кусочно-линейная функция
Графики и формулы кусочно-линейных функций
На практике в течение некоторого времени тело может двигаться, потом – покоиться, потом – опять прийти в движение, но уже с другой скоростью и в другом направлении и т.п. Как задать подобную зависимость?
Допустим, турист идет из начальной точки по прямой тропинке в течение 2 ч со скоростью 5 км/ч, затем останавливается отдохнуть на 1ч и возвращается обратно по той же тропинке со скоростью 4 км/ч. Нам нужно найти формулу для расстояния s(t) от начальной точки на протяжении всего похода.
Изобразим зависимость s(t) графически:
Важным свойством заданной функции является выполнение условий согласования:
$$ s_1 (2) = s_2 (2) = 10,s_2 (3) = s_3 (3) = 10$$
Наша функция «сшита» на концах промежуточных интервалов.
$$x f(x) = <\left\< \begin
При этом для функции на краях интервалов выполняются условия согласования:
Графиком кусочно-линейной функции является ломаная линия
Знак модуля в линейных функциях
Если в формуле для линейной функции содержится знак модуля, то после его раскрытия получается кусочно-линейная функция.
Примеры
Пример 1. Представьте функцию с модулем в виде кусочно-линейной и постройте её график:
Пример 2*. Представьте функцию с модулем в виде кусочно-линейной и постройте её график:
Как видно из этого примера, аналитически выводить формулу для двух модулей очень нелегко.
Гораздо легче сразу построить график, если следовать следующим простым правилам преобразования.
Шаг 1. Строим y = 2x-1
Урок по теме «Построение графика кусочно-линейной функции»
Разделы: Математика
Цель: Повторить и закрепить свойства графика линейной функции, проверить усвоение материала в ходе самостоятельной работы с взаимопроверкой, продолжать вырабатывать навыки построения графика линейной функции при рассмотрении кусочно-линейной функции, научить грамотно и аккуратно изображать график кусочно-линейной функции.
Средства: Интерактивная доска; презентация (Приложение1), сопровождающая урок; меловая или маркерная доска; раздаточный материал(Приложение2).
Объявить тему урока и его план.(слайд1, слайд2)
Повторение графика и свойств линейной функции с помощью Приложение1 (слайды3-19), где представлены вопросы с выбором ответа, и установлением соответствия между формулой и графиком.
Каждый вопрос представленный на слайде читается учителем и, после ответа учащегося, сопровождается дополнительным вопросом к остальным ученикам:
Что такое х, чем являются k и b?
Что является графиком линейной функции?
Каковы точки пересечения этих графиков с осями координат?
Что делают координаты точки, принадлежащей графику данной функции, с уравнением этой функции?
Каковы угловые коэффициенты двух пересекающихся (параллельных) прямых, являющихся графиками двух линейных функций?
III. Самостоятельная работа.
На этом этапе урока учащиеся выполняют самостоятельную работу(слайд20) на повторение графика и свойств линейной функции. Каждому ученику раздается лист с самостоятельной работой, задания которой разнообразны: выбор ответа, установление соответствия, краткая запись ответа, а также полное решение задания, в конце самостоятельной работы более сильным учащимся предложено дополнительное задание, решение которого будет оценено(или нет) учителем дополнительным баллом. По окончании работы производиться взаимопроверка(слайд21) по заданному критерию и выставляется соответствующая оценка (Приложение2)
IV Объяснение новой темы.
В тетради учащимся предлагается записать тему урока и рассказать как они понимают то с чем придется работать на уроке, а затем объяснение происходит в ходе демонстрации слайдов 22-23 (Приложение1)
V. Закрепление темы.
Закрепление темы происходит в ходе выполнения задания на построения графиков функций:
и просмотра электронных работ на компьютерах, созданных в приложении PowerPoint учащимися 8 класса, на построение графика кусочно-линейной функции
VI. Подведение итогов урока.
Обсудить план построения графика кусочно-заданной функции.
Учебник алгебры для 7 класса общеобразовательных учреждений, под редакцией С.А. Теляковского, М «Просвещение» 20207г, п.17; № 341,346
Урок-мастерская по теме «Построение графика кусочной функции в табличном процессоре Excel по заданным параметрам»
План проведения мастерской:
1. Организационный момент.
Учащиеся проходят в класс. Занимают свои места. Учителя приветствуют их.
2. Актуализация знаний.
На доске записано слово “Функция”. Учитель математики просит учащихся назвать ассоциации, связанные с этим словом.
3. Подготовительная работа.
Учащимся предлагается 4 вида графиков и варианты функций. Соотнести графики функций с их алгебраической записью.
Графики и алгебраические записи размещены на маркерной доске.
 | y= √х |
 | y = | х| |
 | y = x 2 |
 |  |
Учащимся предлагается 4 вида преобразования графиков. Необходимо объяснить, какой вид преобразования используется (данное задание учитель математики иллюстрирует, используя электронное сопровождение курса “Алгебра – 8” под редакцией А.Г.Мордковича).
4. Поиск подхода к решению задачи.
Каждый ученик получает карточку определённого цвета, на которой представлена часть того или иного графика. Учащиеся делятся на группы по цветам.
– Соедините части и скажите, что у Вас получилось? (График кусочной функции)
– Как построить график кусочной функции? Попробуйте вспомнить алгоритм.
5. Работа в группах.
Каждая группа получает конверты с заданиями. Учащиеся внутри группы сами определяют, кто и какую часть будет строить. Построив каждый кусочек функции на листе, учащийся выполняет построение на компьютере под руководством учителя информатики.
Необходимо построить таблицу значений “х” и “у”, заполнить для заданного интервала, самостоятельно выбрав шаг.
Для заполнения значений “у” необходимо правильно внести формулы в ячейку таблицы. (Памятка 2.)
Каждый ученик строит согласно своему заданию функцию и сохраняет работу на отдельном листе книги Excel, переименовав его согласно номеру задания.
Далее все части собираются на одном листе, а затем на компьютере. Если группы справились с заданием, то и на листе, и на компьютере графики одинаковы.
6. Обсуждение в мастерской.
Работы вывешиваются на доску. Учащиеся сравнивают полученный график с макетом, собранным ими в начале урока. Оценивают работы друг друга. Высказывают свои мнения.
Группа 1 получила после выполнения задания график вида:
Группа 2 получила после выполнения задания график вида:
Группа 3 получила после выполнения задания график вида:
Группа 4 получила после выполнения задания график вида:
7. Оценочно-рефлексивная деятельность.
Каждому ученику предлагается оценить свои чувства после выполнения работы. Для этого, на доске расположены 3 рисунка. Каждый ученик подходит к доске и прикрепляет к выбранному им рисунку клейкую бумагу. В конце подсчитывается количество прикреплённых бумажек к тому или иному рисунку. Обсуждается, почему выбрано то или иное настроение.
В конце урока каждому ученику вручается сертификат и выполненная им работа.
Лекция по теме «Как строить график кусочной функции»
Как построить график кусочной функции
Кусочные функции — это функции, заданные разными формулами на разных числовых промежутках. Например,
Чтобы построить график такой кусочной функции, сначала строятся графики двух разных функций не зависимо от значения x (т. е. на всей числовой прямой аргумента). После этого от полученных графиков берутся только те части, которые принадлежат соответствующим диапазонам x. Эти части графиков объединяются в один. Понятно, что в простых случаях чертить можно сразу части графиков, опустив предварительную прорисовку их «полных» вариантов.
Для приведенного выше примера для формулы y = √x получим такой график:
Здесь x в принципе не может принимать отрицательных значений (т. е. подкоренное выражение в данном случае не может быть отрицательным). Поэтому в график кусочной функции уйдет весь график уравнения y = √x.
В данном случае в кусочную функции мы возьмем только ту часть параболы, для которой x принадлежит промежутку (–∞; 0). В результате получится такой график кусочной функции:
Рассмотрим другой пример:
Графиком функции f(x) = (0.6x – 0.5) 2 – 1.7 будет видоизмененная парабола. Графиком f(x) = 0.5x + 1 является прямая:
В кусочной функции x может принимать значения в ограниченных промежутках: от 1 до 5 и от –5 до 0. Ее график будет состоять из двух отдельных частей. Одну часть берем на промежутке [1; 5] от параболы, другую — на промежутке [–5; 0] от прямой: