Решение пределов с корнями
Методы решений
Для вычисления пределов с корнями, применяются приемы и методы, аналогичные методам вычисления пределов с многочленами (см. «Раскрытие неопределенностей с дробями», «Решение пределов с дробями из многочленов»). При этом возможны следующие дополнительные приемы, специфичные для функций с корнями.
1) Убрать корни с помощью подстановки, применяя теорему о пределе сложной функции. Примеры ⇓
2) Разделить числитель и знаменатель на x s (в случае неопределенности вида ∞/∞ при x → ∞ ), где s – некоторое подобранное число. Пример ⇓
3) Выразить бесконечно малые функции, содержащие корни, через бесконечно малые линейные функции, используя приведенные ниже формулы (то же самое в случае разности бесконечно больших функций). Примеры ⇓
4) Иногда удобно бесконечно малую функцию преобразовать в сумму или разность бесконечно малых функций, пределы от которых легко находятся. Пример ⇓
Примеры решений
Решение подстановкой
Пример 1
Применим теорему о пределе сложной функции. Но поскольку функция строго монотонна, то мы применим ее разновидность – теорему о пределе функции от монотонной функции.
Теперь вычисляем второй предел:
.
Он не содержит корней. То есть мы свели задачу к пределу от разности дробей многочленов. Применяем методы, изложенные на странице «Решение пределов с дробями из многочленов».
По теореме о пределе функции от монотонной функции,
.
Пример 2
Все примеры ⇑ Найти предел последовательности:
.
Преобразуем элемент заданной последовательности, воспользовавшись свойствами корней:
.
Находим предел отношения многочленов, выделяя и сокращая в числителе и знаменателе множитель :
.
Неопределенность ∞ / ∞
Пример 3
Все примеры ⇑ Найти предел отношения корней:
.
Линеаризация бесконечно малых (больших) функций
Пример 4
Все примеры ⇑ Найти предел дроби с корнями:
.
Пример 5
Можно было записать и так:
.
После чего вычислить пределы:
.
Пример 6
Все примеры ⇑ Найти предел функции с корнями при x стремящемся к бесконечности:
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин. Сборник задач по высшей математики. Том 1. Москва, 1957.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.
Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Москва, 1997.
Пределы с иррациональностями. Первая часть.
Пределы, содержащие иррациональности (или, попросту говоря, корни) крайне популярны у составителей типовых расчётов и контрольных работ по высшей математике. Обычно рассматриваются три группы неопределённостей:
Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:
Термин «сопряжённое выражение», использованный выше, будет детально пояснён в примерах. Пока что останавливаться на нём подробно нет резона. Вообще, можно пойти иным путём, без использования сопряжённого выражения. Иногда от иррациональности может избавить удачно подобранная замена. Такие примеры редки в стандартных контрольных работах, поэтому на использование замены рассмотрим лишь один пример №6 (см. вторую часть данной темы).
Нам понадобится несколько формул, которые я запишу ниже:
Формул (1)-(5) вполне хватит для решения стандартных задач, к которым мы сейчас и перейдём.
Найдём отдельно пределы числителя и знаменателя:
Замечу, что сопряжённое выражение может менять свою структуру – в зависимости от того, какую именно иррациональность оно должно убрать. В примерах №4 и №5 (см. вторую часть данной темы) будет использован иной вид сопряжённого выражения.
Запишем пределы числителя и знаменателя:
Вернёмся к нашему пределу:
Всё! Неопределённость исчезла. Ещё один шаг и мы приходим к ответу:
В следующем примере рассмотрим случай, когда иррациональности будут присутствовать как в числителе, так и в знаменателе дроби.
Найдём пределы числителя и знаменателя:
Раскрывая скобки с помощью формулы №1, получим:
Возвращаясь к рассматриваемому пределу, имеем:
В следующей (второй) части рассмотрим ещё пару примеров, в которых сопряжённое выражение будет иметь иной вид, нежели в предыдущих задачах. Главное, помните, что цель использования сопряжённого выражения – избавиться от иррациональности, вызывающей неопределённость.
Пределы с корнями
Содержание:
Основные свойства корней. Определение корня
Вообще корнем 
-й степени из числа а называется такое число, 
-я степень которого равна а.
Число п, означающее, в какой степени находится корень, называется показателем корня.
Корень обозначается знаком 
(знак радикала, т. е. знак корня). Под горизонтальной чертой его пишут то число, из которого корень отыскивается (подкоренное число), а над отверстием угла ставят показатель корня. Так:
корень кубический из 27 обозначается 
;
корень пятой степени из 32 обозначается 
.
Показатель квадратного корня принято не писать вовсе; например, вместо 
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Арифметический корень
Укажем следующие два свойства арифметического корня.
а) Пусть требуется найти арифметический 
. Такой корень будет 7, так как 
. Зададимся вопросом, нельзя ли подыскать какое-нибудь другое положительное число х, которое тоже было бы равно Предположим, что такое число существует. Тогда оно должно быть либо меньше 7, либо больше 7. Если допустим, что х 7, то тогда и 
. Значит, никакое положительное число, ни меньшее 7, ни большее 7, не может равняться 
. Таким образом, арифметический корень данной степени из данного числа может быть только один.
К другому заключению мы бы пришли, если бы говорили не только о положительном значении корня ; так, 
ж равен и числу 7, и числу —7 [так как и 
б) Возьмём каких-нибудь два неравных положительных числа, например, 49 и 64. Из того, что 49
Меньшему положительному числу соответствует и меньший арифметический корень (той же степени).
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Алгебраический корень
Корень называется алгебраическим, если не требуется, чтобы он извлекался из положительного числа и чтобы сам он был положительный. Таким образом, если под выражением 
разумеется алгебраический корень п-й степени, то это значит, что число а может быть и положительное, и отрицательное и самый корень может быть и положительным, и отрицательным.
Укажем следующие четыре свойства алгебраического корня.
а) Корень нечётной степени из положительного числа есть положительное число.
Так, 
должен быть числом положительным (он равен 2), так как отрицательное число, возведённое в степень с нечётным показателем, даёт отрицательное число.
б) Корень нечётной степени из отрицательного числа есть отрицательное число.
в) Корень чётной степени из положительного числа имеет два значения, с противоположными знаками и с одинаковой абсолютной величиной.
Так, 
, потому что 
; точно так же 
, потому что степени 
равны одному и тому же числу +81.
Двойное значение корня обозначается обыкновенно постановкой двух знаков перед абсолютной величиной корня; так, пишут:
Чтобы в дальнейшем не оговаривать каждый раз, берём ли мы алгебраический или арифметический корень, условимся в следующем: 1) В случае чётной степени под выражением 
, 
и т. д. будем всегда подразумевать только арифметический корень. Так, 
2) Если мы берём алгебраический корень, то будем ставить перед корнем двойной знак. Так, 
г) Корень чётной степени из отрицательного числа не может равняться никакому, ни положительному, ни отрицательному, числу, так как и то и другое после возведения в степень с чётным показателем даёт положительное число, а не отрицательное. Например, 
не равен ни +3, ни —3 и никакому иному числу.
Корень чётной степени из отрицательного числа принято называть мнимым числом, остальные же числа называются вещественными, или действительными числами.
Извлечение корня из произведения, из степени и из дроби
а) Пусть надо извлечь арифметический квадратный корень из произведения abc. Если бы требовалось произведение возвести в квадрат, то, как мы видели, можно возвести в квадрат каждый сомножитель отдельно. Так как извлечение корня есть действие, обратное возведению в степень, то надо ожидать, что и для извлечения корня из произведения можно извлечь его из каждого сомножителя отдельно, т. е. что 
Чтобы убедиться в верности этого равенства, возведём правую часть его в квадрат (по теореме о степени произведения):
Но согласно определению корня:
Следовательно, 
Если же квадрат произведения 
то это значит, что произведение это равно квадратному корню из абс. Подобно этому:
Значит, чтобы извлечь арифметический корень из произведения, можно извлечь его из каждого сомножителя отдельно.
б) Легко убедиться проверкой, что следующие равенства верны.
Значит, чтобы извлечь корень из степени, показатель которой делится на показатель корня, можно разделить показатель степени на показатель корня.
в) Верны будут также и следующие равенства:
Значит, чтобы извлечь корень из дроби, можно извлечь его из числителя и знаменателя отдельно.
Напомним, что в этих правилах предполагается, что речь идёт о корнях арифметических.
Примеры с решением
Замечание. Если искомый корень чётной степени и предполагается алгебраическим, то перед найденным результатом надо поставить двойной знак ±. Так: 
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений
Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Понятие предела в математике
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Еще один вид неопределенностей: 0/0
В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.
Решение пределов с корнями разных степеней
Непосредственное вычисление пределов, таблица пределов функций, арктангенс бесконечности, число в степени бесконечность.
Основные свойства пределов с корнями
Для нахождения предела функции необходимо подставить в предел вместо Х то значение переменной, к которому стремится Х.
Предел функции при ( x to x_0 )
Пусть функция ( f(x) ) определена на некотором множестве (X) и пусть точка ( x_0 in X ) или ( x_0 notin X )
Определение. Число (A) называется пределом функции (f(x)) в точке ( x = x_0 ) (или при ( x to x_0 ) ), если длялюбой сходящейся к (x_0) последовательности (1) значений аргумента (x), отличных от (x_0) соответствующаяпоследовательность (2) значений функции сходится к числу (A).
Функция (f(x)) может иметь в точке (x_0) только один предел. Это следует из того, что последовательность ( left < f(x_n) right>) имеет только один предел.
Существует другое определение предела функции.
Определение Число (A) называется пределом функции (f(x)) в точке (x_0), если для любого числа ( varepsilon > 0 )существует число ( delta > 0 ) такое, что для всех ( x in X, ; x neq x_0 ), удовлетворяющих неравенству ( |x-x_0| Используя логические символы, это определение можно записать в виде
( (forall varepsilon > 0) (exists delta > 0) (forall x in X, ; x neq x_0, ; |x-x_0| Отметим, что неравенства ( x neq x_0, ; |x-x_0| Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением«на языке последовательностей».
Второе определение называют определением «на языке ( varepsilon – delta )».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое болееудобно при решении той или иной задачи.
Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне,а определение предела функции «на языке ( varepsilon – delta )» — определением предела функции по Коши.
Таблица пределов функции
Для упрощения и решения пределов используется данная таблица основных пределов.
Функция корень n-ой степени
Для любых x0 из опрелеления
Функция корень n-ой степени
y=xn, где n=3, 5, 7 …
limx→∞xn=+∞n=+∞limx→∞xn=-∞n=-∞
limx→x0xn=x0n
Степенная функция y=xa, a 1limx→∞ax=a-∞=+0limx→x0ax=a+∞=+∞
Для любых знвчений x0 из област опредения limx→x0ax=ax0
Логарифмическая функция
Для любых x0 из области опрелеленияlimx→x0logax=logax0
Логарифмическая функция
Для любых x0 из области опрелеления
limx→∞tg x не существует
Для любых x0 из области опрелеления
limx→∞ctg x не существует
Для любых x0 из области опрелеления
limx→x0сtg x=сtg x0
Обратные тригонометрические функции
Для любых x0 из области опрелеления
limx→x0arcsin x=arcsin x0
Для любых x0 из области опрелеления
limx→x0arccis x=arccos x0
Обратные тригонометрические функции
Для любых x0 из области опрелеления
limx→x0arctg x=arctg x0
Для любых x0 из области опрелеления
limx→x0arcctg x=arcctg x0
Произвести вычисление предела limx→1×3+3x-1×5+3.
Для решения необходимо подставить значение х=1. Получаем, что
Произвести вычисление предела функции limx→0(x2+2,5)1×2
Для того, чтобы раскрыть предел, необходимо подставить значение х, к которому стремится предел функции. В данном случае нужно произвести подстановку х=0. Подставляем числовое значение и получаем:
Предел записывается в виде limx→0(x2+2.5)1×2=limx→02.51×2. Далее необходимо заняться значением показателя. Он является степенной функцией 1×2=x-2. В таблице пределов, предоставленной выше, имеем, что limx→0+01×2=limx→0+0x-2=+∞ и limx→0+01×2=limx→0+0x-2=+∞, значит, имеем право записать как limx→01×2=limx→0x-2=+∞
Теперь вычислим предел. Получит вид limx→0(x2+2.5)1×2=limx→02.51×2=2.5+∞
По таблице пределов с показательными функциями, имеющими основание больше 1 получаем, что
Когда задан более сложный предел, то при помощи таблицы не всегда получится получать целое или конкретное значение. Чаще получаются разные виды неопределенностей, для разрешения которых необходимо применять правила.
Рассмотрим графическое разъяснение приведенной выше таблицы пределов основных элементарных функций.
Предел константы
Из рисунка видно, что функция у=С имеет предел на бесконечности. Такой же предел при аргументе, который стремится к х0. Он равняется числу C.
Предел функции корень n-ой степени
Четные показатели корня применимы для limx→+∞xn=+∞n=+∞, а нечетные, равные больше, чем значение 1, – для limx→+∞xn=+∞n=+∞, limx→-∞xn=-∞n=-∞. Область определения может принимать абсолютно любое значение х предела заданной функции корня n-ой степени, равного значению функции в заданной точке.
Примеры решений пределов с корнями
Задание
Решение
Мы имеем неопределенность вида
Первый шаг – разделить числитель и знаменатель на ”х” в высшей степени. Старшая степень для числителя в данном случае равна двум.
Со знаменателем немного сложнее. Так как у нас корень, обращаем внимание только на самое ”старшее” слагаемое –
Число (4) – это константа, его тоже отбрасываем. Находим корень
Так как числитель и знаменатель оказываются одного порядка роста, предел равен конечному числу, отличному от нуля.
Видим, что функции эквивалентны на бесконечности.
Ответ: 1
Задание
Найти предел с корнем
Решение
в подпредельную функцию:
Домножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к нему –
так как он содержит корень.
Далее, пользуясь формулой разности квадратов
и раскрывая скобки, упрощаем предел. Последний шаг – сокращение функции на
Задание
Решить предел с корнем
Решение
в предел и получаем неопределённость вида
Как и в предыдущих примерах, находим старшую степень для числителя и знаменателя, и выносим её за скобки.
И опять подставляем
Ответ:
Задание
Вычислить предел корня:
Решение
Аналогично предыдущим примерам, подставляем
Находим сопряженное, в данном случае это
Как и в примере №2, пользуясь формулой разности квадратов
и раскрывая скобки, упрощаем предел:
Раскрываем скобки и упрощаем. Затем выносим х за скобки и сокращаем:
Как и в начале, подставляем в предел, получаем:
Ответ:
Задание
Вычислить предел функции
Решение
Если подставить х=1, видно, что и числитель, и знаменатель обращаются в ноль. Получаем неопределенность вида
Как и в предыдущих примерах, первым шагом находим сопряжённое –
и домножаем на него числитель и знаменатель.
Применяем правило разности квадратов
и преобразовываем предел:
Сокращаем числитель и знаменатель на (x-1) и приходим к конечному ответу:
Ответ: 6
Задание
Вычислить предел:
Решение:
Первый шаг – подставить в предел выражение
и убедиться, что выходит неопределённость вида
Шаг второй – раскрываем нашу неопределенность путём умножения числителя и знаменателя на сопряжённое выражение, в данном случае –
Далее, пользуясь формулой разности квадратов раскладываем числитель:
Подставляем х=3 в предел и вычисляем:
Ответ:
Задание
Решение
Как и в предыдущих заданиях, подставляем
и убеждаемся, что имеем дело с неопределённостью вида
Порядок действий стандартный. Избавляемся от иррациональности в знаменателе с помощью домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. В данном примере сопряжённое выражение имеет вид –
Перемножаем знаменатель и сокращаем в числителе и знаменателе
Подставляем, как и ранее, х=3 и находим ответ:
Ответ: 17,8
Задание
Определить предел функции
Решение
Смотрим на функцию, подставляем
мы имеем дело с неопределённостью вида:
Начинаем работать с функциями, содержащими корень. Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение и упрощаем предел:
После преобразований получаем ответ:
Задание
Решение:
в выражение лимита, подтверждаем догадки, что перед нами неопределённость вида
Как и раньше, первый шаг – избавиться от иррациональности с помощью домножения числителя и знаменателя на соответствующее сопряженное выражение.
Раскрываем скобки и сокращаем выражения на
больше нет и ничего нам не мешает вычислить пример:
Ответ:
Задание
Решение
Оба лимита числителя и знаменателя равны нулю, значит опять неопределённость вида
Находим сопряжённое к числителю и знаменателю число:
Домножаем на полученное выражение числитель и знаменатель, раскрываем скобки и упрощаем:
Раскладываем числитель и знаменатель:
Ответ:
Предел функции
Обратимся сразу к определению.
Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x→a, если, задав некоторое произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x, лежащих в ε-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 0