Площадь правильного многоугольника
Найдём площадь правильного многоугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей и через его сторону.
Любой правильный многоугольник вписан в окружность и описан около окружности. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают и называются центром правильного многоугольника.
Соединив центр правильного n-угольника
со всеми его вершинами, получим n равнобедренных треугольников.
Основание каждого такого треугольника равно стороне многоугольника, боковые стороны равны радиусу описанной около многоугольника окружности угол при вершине — центральному углу правильного многоугольника
Так как площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними,
Поскольку многоугольник состоит из n таких треугольников, формула площади правильного многоугольника через радиус описанной окружности:
Проведём в треугольнике A1OA2 высоту OF. Её длина равна радиусу вписанной в правильный n-угольник окружности:
По свойству равнобедренного треугольника OF является также его биссектрисой и медианой:
Из прямоугольного треугольника A1OF по определению тангенса
Так как площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне,
равна сумме n таких площадей.
Таким образом, формула площади правильного многоугольника через радиус вписанной окружности:
Из треугольника A1OF
Поскольку многоугольник состоит из n равных треугольников, формула площади правильного многоугольника через его сторону:
Правильный многоугольник
Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника
Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.
Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.
Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Признаки правильного многоугольника
Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие: все стороны и углы одинаковы.
α 1 = α 2 = α 3 = … = α n-1 = α n
где a1 … an — длины сторон правильного многоугольника,
α 1 … α n — внутренние углы между стронами правильного многоугольника.
Основные свойства правильного многоугольника
Формулы правильного n-угольника
Формулы длины стороны правильного n-угольника
Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности
a = 2 · r · tg 180° n (через градусы),
a = 2 · r · tg π n (через радианы)
Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности
a = 2 · R · sin 180° n (через градусы),
a = 2 · R · sin π n (через радианы)
Формулы радиуса вписанной окружности правильного n-угольника
Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны
r = a : 2 · tg 180° n (через градусы),
r = a : 2 · tg π n (через радианы)
Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника
Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны
R = a : 2 · sin 180° n (через градусы),
R = a : 2 · sin π n (через радианы)
Формулы площади правильного n-угольника
Формула площади n-угольника через длину стороны
Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности
Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности
Формула периметра правильного многоугольника
Формула периметра правильного n-угольника
Периметр правильного n-угольника равен произведению длины одной стороны правильного n-угольника на количество его сторон.
Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника
Формула угла между сторонами правильного n-угольника
Правильный треугольник
Правильный треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°.
Формулы правильного треугольника
Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности
Сторона правильного треугольника равна удвоенному произведению радиуса вписанной окружности на корень из трёх.
Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности
Сторона правильного треугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из трёх.
Формула площади правильного треугольника через длину стороны
Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности
Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности
Углы между сторонами правильного треугольника
Правильный четырехугольник
Правильный четырехугольник — это квадрат.
Формулы правильного четырехугольника
Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности
Сторона правильного четырехугольника равна двум радиусам вписанной окружности.
Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности
Сторона правильного четырехугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из двух.
Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны
Радиус вписанной окружности правильного четырехугольника равен половине стороны четырехугольника.
Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны
Радиус описанной окружности правильного четырехугольника равен половине произведения стороны четырехугольника на корень из двух.
Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны
Площадь правильного четырехугольника равна квадрату стороны четырехугольника.
Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности
Площадь правильного четырехугольника равна четырем радиусам вписанной окружности четырехугольника.
Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности
Площадь правильного четырехугольника равна двум квадратам радиуса описанной окружности.
Углы между сторонами правильного четырехугольника
Правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 120°.
Формулы правильного шестиугольник
Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
Длина стороны правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.
Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны
Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны
Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны
Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
Углы между сторонами правильного шестиугольника
Правильный восьмиугольник
Правильный восьмиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного восьмиугольник равны между собой, все углы также равны и составляют 135°.