Площадь круга: как найти, формулы
площадь, 6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Определение основных понятий
Прежде чем погрузиться в последовательность расчетов и узнать, чему равна площадь круга, важно выяснить разницу между понятиями окружности и круга.
Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.
Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии, не превышающем радиус.
Если говорить простым языком, окружность — это замкнутая линия, как, например, кольцо и шина. Круг — плоская фигура, ограниченная окружностью, как монетка или крышка люка.
Формула вычисления площади круга
Давайте разберем несколько формул расчета площади круга. Поехали!
Площадь круга через радиус
Площадь круга через диаметр
S = d 2 : 4 × π, где d — это диаметр.
Площадь круга через длину окружности
S = L 2 : (4 × π), где L — это длина окружности.
Популярные единицы измерения площади:
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Задачи. Определить площадь круга
Мы разобрали три формулы для вычисления площади круга. А теперь тренироваться — поехали!
Задание 1. Как найти площадь круга по диаметру, если значение радиуса равно 6 см.
Диаметр окружности равен двум радиусам.
Используем формулу: S = π × d 2 : 4.
Подставим известные значения: S = 3,14 × 12 2 : 4.
Задание 2. Найти площадь круга, если известен диаметр, равный 90 мм.
Используем формулу: S = π × d 2 : 4.
Подставим известные значения: S = 3,14 × 90 2 : 4.
Задание 3. Найти длину окружности при радиусе 3 см.
Отношение длины окружности к диаметру является постоянным числом.
Получается: L = d × π.
Так как диаметр равен двум радиусам, то формула длины окружности примет вид: L = 2 × π × r.
Подставим значение радиуса: L = 2 × 3,14 × 3.
Площадь круга
Прежде чем определится, как рассчитать площадь круга, необходимо хорошо усвоить и понять в чём разница между окружностью и кругом. Что называется окружностью, а что подразумевают под словом круг.
Замкнутая кривая ( линия ), чьи точки лежат на одинаковом расстоянии от одной точки её центра, называется окружностью.
Окружность разбивает плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю.
Та часть плоскости, которая лежит внутри окружности (вместе с самой окружностью) называется кругом.
Другими словами, для простоты понимания, следует запомнить:
Как найти площадь круга
Для расчета площади круга используется формула:
Как решать задачи на площадь круга
Теперь, зная, по какой формуле считается площадь круга, решим задачи на площадь круга.
Зубарева 6 класс. Номер 675(г)
Найдите площадь круга, радиус которого равен 1,2 см.
Воспользуемся формулой площади круга:
S = π R 2 = 3,14 · 1,2 2 = 3,14 · 1,44 = 4,5216 см 2
Обратите внимание, что площадь измеряется в квадратных единицах. Всегда проверяйте свои ответы, правильно ли вы указали единицы измерения.
Зубарева 6 класс. Номер 677(б)
Выразим из формулы радиус:
S = π R 2
R = √ S / π = √ 1,1304 / 3,14 = √ 0,36 = 0,6 см
Площадь круга
Круг – это плоская фигура, которая представляет собой множество точек равноудаленных от центра. Все они находятся на одинаковом расстоянии и образуют собой окружность. 
Отрезок, который соединяет центр круга с точками его окружности, называется радиусом. В каждой окружности все радиусы равны между собой. Прямая, соединяющая две точки на окружности и проходящая через центр называется диаметром. Формула площади круга рассчитывается с помощью математической константы – числа π..
Это интересно: Число π. представляет собой соотношение длины окружности к длине ее диаметра и является постоянной величиной. Значение π = 3,1415926 получило применение после работ Л. Эйлера в 1737 г.
Площадь окружности можно вычислить через константу π. и радиус окружности. Формула площади круга через радиус выглядит так:
Существует формула площади круга через диаметр. Она также широко применяется для вычисления необходимых параметров. Данные формулы можно использовать для нахождения площади треугольника по площади описанной окружности.
Знания стандартных формул расчета площади круга помогут в дальнейшем легко определять площадь секторов и легко находить недостающие величины.
Мы уже знаем, что формула площади круга рассчитывается через произведение постоянной величины π на квадрат радиуса окружности. Радиус можно выразить через длину окружности и подставить выражение в формулу площади круга через длину окружности: 
Теперь подставим это равенство в формулу расчета площади круга и получим формулу нахождения площади круга, через длину окружности
Площадь круга описанного вокруг квадрата
Очень легко можно найти площадь круга описанного вокруг квадрата.
Для этого потребуется только сторона квадрата и знание простых формул. Диагональ квадрата будет равна диагонали описанной окружности. Зная сторону a ее можно найти по теореме Пифагора: 
отсюда 
.
После того, как найдем диагональ – мы сможем рассчитать радиус: 
.
И после подставим все в основную формулу площади круга описанного вокруг квадрата: 
Зная несколько простых правил и теорему Пифагора, мы смогли рассчитать площадь описанной вокруг квадрата окружности.
Задача: определить площадь круга, если известна длина окружности
Условие задачи:
Длина окружности 5 м. Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью.
Дано:
Длина окружности, L = 5 м
Найти площадь круга: S
Используем формулу площади круга через радиус. Но нам пока не известен радиус, его надо найти.
Определить радиус, нам поможет формула длины окружности.
После преобразования, выразим радиус через длину окружности и подставим значения.
Получили значение радиуса окружности.
В формулу площади круга, подставляем найденное значение радиуса.
Ответ:
Если в формулу площади круга подставить выраженный радиус через длину окружности, то получим следующую формулу, в которой площадь круга сразу выражена через длину окружности. Проверим, подставив наше значение
Онлайн калькулятор для расчета площади круга
Площадь круга можно найти, если известны:
Расчет площади круга — это не только учебная задача для школьников шестого класса. Круглых предметов довольно много и в реальной жизни, а необходимость посчитать их площадь хотя и не так часто, но возникает. Например, это может потребоваться для определения количества краски для ремонта круглой столешницы или для расчета площади остекления дома, спроектированного и построенного в готическом стиле.
Сложность вычисления площади круга связана с тем, что практически во всех формулах встречается иррациональное число пи, которое в обычных расчетах принимается равным 3,14. Даже если вы с детства неплохо владеете устным счетом, вычислить в уме площадь круга, радиус которого выражается дробным числом, будет довольно затруднительно. Но теперь это и не нужно, поскольку мы разработали для вас удобный сервис, который сделает все расчеты за несколько мгновений. Причем необязательно пересчитывать известные вам размеры конструкции так, чтобы получить значение радиуса в явном виде. Наш калькулятор умеет считать площадь круга практически по всем параметрам, которые могут быть известны на практике.
Расчет площади круга по его радиусу
Формула площади круга через диаметр
Если вам известен диаметр круга, можно разделить его пополам и подставить в предыдущую формулу. Но можно поступить еще проще. Перейдите на вторую вкладку и введите диаметр D в качестве исходных данных. Калькулятор использует формулу S = π · D2 / 4 и рассчитывает площадь круга прямо в процессе вашего ввода. Если после вывода результата вы измените значение диаметра, результат пересчитается автоматически.
Площадь круга через длину окружности
Для начала на всякий случай определимся с терминологией: окружность — это линия, каждая точка которой удалена на одинаковое расстояние от центра, а круг — это все, что находится внутри нее. Таким образом, окружность представляет собой внешнюю границу круга. Ее длина равна 2 · π · R (за R по-прежнему обозначаем радиус круга и окружности). Теоретически отсюда можно вычислить радиус и посчитать площадь круга по классической формуле. Но, опять же, есть более простой способ: воспользоваться нашим онлайн-калькулятором и ввести известную длину окружности, не выполняя ненужных промежуточных действий. Результат, как и всегда, будет выведен мгновенно.
Расчет площади круга по стороне вписанного квадрата
Как найти площадь круга, если известна сторона описанного вокруг него квадрата
Предположим, вы хотите купить бассейн, под который у вас выделен квадратный участок известных размеров. Вполне закономерно желание поставить резервуар максимальной емкости, которая определяется его высотой и площадью. То есть нужно найти площадь круга максимального радиуса, вписанного в квадрат, что и приводит к необходимости ее расчета через сторону этого квадрата. Нетрудно заметить, что задача сводится к вычислению площади круга по известному диаметру, так как сторона описанного вокруг него квадрата как раз и есть его диаметр. Но мы сделали для этого варианта отдельную вкладку, чтобы не заставлять вас запоминать ненужную информацию. Просто вводите длину стороны квадрата и получайте результат точно так же, как и во всех предыдущих случаях.
Вычисление площади круга через диагональ описанного квадрата
Расчет площади круга по площади описанного вокруг него квадрата
Условия использования онлайн-калькулятора расчета площади круга
Вы можете пользоваться данным сервисом совершено бесплатно. Количество расчетов не ограничено, калькулятор запускается из любого браузера, ничего устанавливать на ваш компьютер не нужно. Если наш сайт оказался полезным для вас, напишите об этом в комментариях и не забудьте сохранить его в закладках, чтобы иметь возможность выполнять любые математические вычисления, не отходя от компьютера.