Как посчитать площадь части круга

Как посчитать площадь части круга

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Центр данной окружности называется центром круга, а расстояние от центра до любой точки окружности — радиусом круга:

O — центр круга, OA — радиус круга.

Площадь круга

Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:

где S — площадь круга, а r — радиус круга.

Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:

Следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:

Сектор круга. Площадь сектора

Сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Два радиуса разделяют круг на два сектора:

Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит n°, надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.

Формула площади сектора:

где S — площадь сектора. Выражение

можно представить в виде произведения

Следовательно, площадь сектора равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:

где S — это площадь сектора, s — длина дуги данного сектора, r — радиус круга.

Сегмент. Площадь сегмента

Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой. Любая хорда делит круг на два сегмента:

Площадь сегмента равна половине радиуса, умноженной на разность между дугой сегмента и половиной хорды двойной дуги.

Площадь сегмента AMB будет вычисляться по формуле:

где S — это площадь сегмента, r — радиус круга, s — длина дуги AB, а BC — длина половины хорды двойной дуги.

Источник

Площадь круга (ЕГЭ 2022)

Существует множество сложных задач о площади круга и его частей: секторов, сегментов, пересечений.

После прочтения этой статьи они станут для тебя простыми!

А еще посмотри задачи на окружности (ЕГЭ 16) из нашего курса подготовки.

Площадь круга — коротко о главном

Основные формулы:

Правило нахождения нестандартной части круга:

Непонятную фигуру нужно разделить на несколько стандартных (сектор, сегмент, треугольник и т.д.), потом посчитать площадь каждой стандартной фигуры и сложить все площади.

Площадь круга — подробнее

\( \displaystyle R\) — радиус,
\( \displaystyle \pi \) – число \( \displaystyle \approx 3,1415\)

Производит впечатление? Представляешь, сколько времени математики думали, пока не додумались, что…

…площадь круга радиуса \( \displaystyle R\) ровно (!) в \( \displaystyle \pi \) раз больше площади квадрата со стороной \( \displaystyle R\).

Ну вот, а теперь – площадь части круга.

Площадь сектора круга

Смотри на картинку, это такая «хорошая» часть круга.

где \( \displaystyle a \) – величина угла сектора в радианах (т.е. в числах \( \displaystyle \frac<\pi ><6>\), \( \displaystyle \frac<\pi ><4>\), \( \displaystyle \frac<\pi ><27>\) и т.д.)

Подробнее о радианах смотри в теме «Окружность. Вписанный угол».

Площадь сегмента круга

А это «плохая» часть круга – опять смотри на картинку:

Площадь других частей круга

Иногда бывает, что нужно посчитать площадь какой-нибудь странной части круга. Эта часть может не быть ни сектором, ни сегментом.

Давай рассмотрим два примера.

Пример 1

Окружности радиусов \( \displaystyle 2\) и \( \displaystyle 4\) пересекаются по хорде, равной \( \displaystyle 2\).

Найти площадь общей части кругов.

Решение

Решение:

Обрати внимание, что общая часть кругов состоит из двух сегментов: красного и голубого.

Найдем площадь голубого сегмента.

Для этого нужно посмотреть на окружность с центром \( \displaystyle <_<1>>\).

\( \displaystyle \Delta A<_<1>>B\) — правильный \( \displaystyle \quad \Rightarrow \ \angle A<_<1>>B=\frac<\pi ><3>\,\, (<<60>^<\circ >>)\).

Если не помнишь, как считается площадь правильного треугольника, загляни в тему «Равносторонний треугольник».

А вот найти \( \displaystyle \angle A<_<2>>B\) уже сложнее.

Придется применять теорему косинусов!

Пример 2

На стороне \( \displaystyle AB\) треугольника \( \displaystyle ABC\) как на диаметре построена окружность.

Найти площадь общей части треугольника и круга, если \( \displaystyle AB=4\), \( \displaystyle \angle A=30<>^\circ \), \( \displaystyle \angle B=140<>^\circ \).

Решение

Проведем \( \displaystyle OD\).

Опять наша непонятная фигура разделилась на две стандартные:

Сектор \( \displaystyle BOD\) и \( \displaystyle \Delta AOD\).

\( \displaystyle \angle A=30<>^\circ \), значит \( \displaystyle \angle BOD=60<>^\circ \)

Нужно найти \( \displaystyle <_<\Delta AOD>>.\)

\( \displaystyle <_<\Delta AOD>>=\frac<1><2>AO\cdot OD\cdot sin\angle O=\) \( \displaystyle=\frac<1><2>\cdot 2\cdot 2\cdot sin120<>^\circ =\frac<2\sqrt<3>><2>=\sqrt<3>.\)

\( \displaystyle S=\frac<2><3>\pi +\sqrt<3>\).

Что же общего в этих двух примерах, и есть ли общее правило?

Непонятную фигуру нужно разделить на несколько стандартных, таких как сектор, сегмент, треугольник и т.д., потом посчитать площадь каждой стандартной фигуры и сложить все площади.

Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

Перед вами вебинары, связанные с окружностями и 16 заданием ЕГЭ.

ЕГЭ 16 математика. Метод вспомогательной окружности. Из реального ЕГЭ 2016 года

Метод вспомогательной окружности — это очень классный метод, но, к сожалению, он не всегда очевиден.

Иногда в задаче нет даже намёка ни на какие окружности, но тем не менее, если догадаться её на рисунке достроить, решение становится в разы проще!

Как минимум, сразу же становятся равными друг другу очень неочевидные углы — те, которые опираются на одну дугу, но без окружности увидеть это было бы нереально сложно. Либо произведения отрезков хорд равны друг другу.

Это очень крутой и удобный метод — но нужно понимать, в каких ситуациях он применяется, ведь далеко не всегда нужно на и без того сложный рисунок лепить ещё и окружность.

ЕГЭ 16 Планиметрия Статград март 2021

Задача №16 из мартовского статграда на планиметрию ничем не удивляет: снова окружность и пропорциональные отрезки в ней, прямоугольные треугольники, вот это всё.

Скучно… Раз-два, и ответ готов!

Но погодите-ка, а почему у нас с вами ответ получился разный? И вроде бы оба делаем всё правильно…

На уроках нашего курса я рассказывал о таких задачах, но их уже давненько не попадалось на ЕГЭ, и все уж думали, что ушла эпоха. Конечно, никакого парадокса в этой задаче нет, нужно всего лишь (ха-ха) быть очень внимательными:)

Смотрите видео, и узнаете, в чём же особенность этой задачи, как её правильно решать и оформлять, а также – как ничего не упустить на экзамене и не потерять баллы!

ЕГЭ 16. Планиметрия. Окружности. Задача из олимпиады Физтеха 2020

Планиметрия и окружности! Куда же деться от них в 16 задаче на ЕГЭ?

Те, кто ходил на наш курс подготовки, посвященный 16 задаче, знают, что окружности в задачах на планиметрию попадаются чаще всего.

Никуда не деться от окружностей — остается только научится их решать и получать удовольствие от красивых задач!

В этом видео мы разберём, что бы вы думали? Задачу 16 из ЕГЭ?

Нет! Пойдём дальше — разберём задачу из олимпиады Физтеха прошлого года.

Стойте, не разбегайтесь! Олимпиады далеко не всегда бывают сложными (особенно, если вы прошли наш курс по 16-й задаче).

Эта задача вполне себе ЕГЭ-шного уровня. Про окружности и прямоугольные треугольники. Готовьтесь и “разминайте” свои теоремы Пифагора, теорему синусов и прочих косинусов.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

Знаешь, что самое важное?

Что теперь ты знаешь намного больше, чем обычно рассказывают в школе. И я очень тобой горжусь.

Такие вещи очень полезно знать. Кто знает, вдруг подкрадется какая-нибудь задача про это? 🙂

Мы будем очень рады узнать твое мнение об этой статье. А еще мы ответим на любые твои вопросы, если такие есть.

Напиши в комментариях ниже, понравилась ли тебе статья? Все ли было достаточно подробно?

Добавить комментарий Отменить ответ

Один комментарий

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

Сережа
07 апреля 2019
Как рассчитать площадь треугольника с криволинейной (выпуклой дугой) гипотенузой? Размеры катетов и дуги известны.

Алексей Шевчук
04 сентября 2019
Сережа, проведи прямую гипотенузу, таким образом ты разобьёшь фигуру на 2 части. Вычисли площадь каждой из них, потом сложи.

Роберт
23 ноября 2019
Как найти площадь усеченной полу окружности?

Алексей Шевчук
24 ноября 2019
Роберт, разрежьте её на два сектора и треугольник, посчитайте площадь каждой части, потом сложите.

Владислав
26 января 2020
Как найти площадь наложенных друг на друга секторов, с центрами внутри одной окружности?

Алексей Шевчук
27 января 2020
Владислав, не совсем понятно, это секторы одной окружности, то есть с общим центром? Или центры не совпадают?

Нодир Юлдашев
09 июня 2020
Алексей, как можно посчитать, сколько процентов площади первого круга затмил второй круг исходя из того, сколько части диаметра первого круга затмил второй круг? Сейчас почитал про предстоящее кольцеобразное солнечное затмение 21 июня 2020 года и мне стало интересно. Диаметры кругов могут немножко отличаться из-за периодического изменения расстояния до Солнца и до Луны (в максимуме этого затмения видимый диаметр Солнца будет 31′ 28,4″ (0,524(5)°), а Луны — 30′ 48″ (0,51(3)°)). https://heavens-above.com/SolarEclipse.aspx?jdmax=2459021.77865012 (вкладка «Местные условия»)

Алексей Шевчук
09 июня 2020
Нодир, можно. Углы, которые здесь написаны, пропорциональны диаметрам (а значит, и радиусам) кругов. Отношение площадей равно квадрату отношения радиусов или диаметров (если поделить две формулы площади круга друг на друга, пи сокращается). Делим угловой диаметр Луны на Солнца, возводим в квадрат. Числа должны быть переведены в единицы измерения одного типа, например, в граусы: (0,513 / 0,525)^2 = 0.977^2 = 0.955 = 95.5%

Нодир Юлдашев
09 июня 2020
Алексей, спасибо за ответ, это тоже запомню, я хотел спросить о частичном затмении, которое у нас можно будет наблюдать. Луна подойдёт к Солнцу справа (с запада) и начинает его закрывать. В максимальной фазе Луна закроет 0,652 части диаметра Солнца (это величина (магнитуда) затмения) и 56,4% его площади (это максимальная фаза, %) (нижнюю часть Солнца). Центр Луны через центр Солнца у нас не пройдёт. Потом будет двигаться дальше налево (на восток) и выйдет из солнечного диска. Хотел поинтересоваться, а можно ли составить формулу для вычисления процента площади затмения исходя из величины (магнитуды) затмения. Я сам не школьник, я бухгалтер, и мне просто стало интересно. 🙂

Источник

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Основные определения и свойства. Число π

Формулы для площади круга и его частей

Формулы для длины окружности и ее дуг

Площадь круга

Длина окружности

Длина дуги

Площадь сектора

Площадь сегмента

Основные определения и свойства

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Фигура	Рисунок	Определения и свойства
Окружность
Дуга
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Круг
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Сектор
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Сегмент
Часть круга, ограниченная хордой
Правильный многоугольник
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны Около любого правильного многоугольника можно описать окружность Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами. Формулы для площади круга и его частей , где R – радиус круга, D – диаметр круга , если величина угла α выражена в радианах , если величина угла α выражена в градусах , если величина угла α выражена в радианах , если величина угла α выражена в градусах , где R – радиус круга, D – диаметр круга Числовая характеристика Рисунок Формула Площадь круга Площадь сектора , если величина угла α выражена в радианах , если величина угла α выражена в градусах Площадь сегмента , если величина угла α выражена в радианах , если величина угла α выражена в градусах Формулы для длины окружности и её дуг где R – радиус круга, D – диаметр круга если величина угла α выражена в радианах , если величина угла α выражена в градусах где R – радиус круга, D – диаметр круга Числовая характеристика Рисунок Формула Длина окружности Длина дуги если величина угла α выражена в радианах , если величина угла α выражена в градусах Площадь круга Длина окружности откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R : Длина дуги Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла. В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция из которой вытекает равенство: В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция из которой вытекает равенство: Площадь сектора В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция из которой вытекает равенство: В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция из которой вытекает равенство: Площадь сегмента Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла. Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем Источник Как посчитать площадь части круга Сегмент круга Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой). На рисунке: L — длина дуги сегмента c — хорда R — радиус a — угол сегмента h — высота Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам: Формулы вычисления параметров сегмента Площадь сегмента: [1] Длина дуги: Сегмент Однако, как справедливо заметил наш пользователь:«на практике часто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны» (см. длина дуги ). Для этого случая для расчета площади сегмента и длины дуги можно использовать следующий калькулятор: Параметры сегмента по хорде и высоте Калькулятор вычисляет радиус круга по длине хорды и высоте сегмента по следующей формуле: Далее, зная радиус и длину хорды, легко найти угол сегмента по формуле: Остальные параметры сегмента вычисляются аналогично первому калькулятору, по формулам, приведенным в начале статьи. Следующий калькулятор вычисляет площадь сегмента по высоте и радиусу: Источник ← двери каски финские входные баня черняховского лиски черняховского → Вам также понравится сколько разбилось суперджетов за всю историю 03.12.202309.07.2023 admin 0 Видеть во сне много винограда и яблок 05.12.202324.06.2023 admin 0 степанов павел алексеевич гражданский биография 06.12.202310.07.2023 admin 0 Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.