Как посчитать область значений функции

Общая информация

У каждой функции y = f (x) есть два типа переменных: зависимые и независимые. Переменная «х» является независимой, поскольку она может принимать любые значения, кроме тех, которые «превращают» функцию в пустое множество (этого необходимо избегать). Они бывают с одной или несколькими независимыми переменными. Необходимо выяснить все значения зависимой переменной.

Существует несколько методов решения задач такого типа. К ним относятся следующие способы: автоматизированный и ручной. Решение первым подразумевает использование специальных программных оболочек и web-приложений, позволяющих найти область значения функции. Онлайн-калькулятор с решением применяется для тех, кто выполняет большое количество вычислений или проверку вычислений.

В различных дисциплинах необходимо исследовать поведение функций. Например, при проектировании какого-либо программного продукта. Программисты занимаются поиском «багов», при которых происходит некорректная работа приложения. Если заданы недопустимые параметры независимой переменной, то произойдет ошибка. Это называется исключением, и его всегда следует обрабатывать. При проектировании различных устройств нужно также уметь находить область значения функции.

Основные понятия

Руководствуясь некоторыми данными, можно сделать вывод: областью значений некоторой функции называются все ее допустимые значения. Обозначается она буквой «E», т. е. E (f) или E (y). Когда y = f (x) является сложной (w = f (x, y, z)), тогда можно ее обозначить «E (w)».

Независимая переменная, принимающая некоторые значения, называется аргументом. Для конкретного случая существует определенный алгоритм. Можно сразу определить E (f), но в некоторых ситуациях нужно выполнить некоторые преобразования.

Специалисты-математики утверждают, что важным аспектом является определение типа функции. Следовательно, следует разобраться в их классификации. Для этого необходимо знать их графики и названия.

Типы функций

Перед тем, как найти все допустимые значения, нужно знать область значения некоторых элементарных функций. Для каждой из них существует свой промежуток:

Если функция является многочленом четной степени, то для нее существует интервал [m;+бесконечность). Значение «m» — наименьшее значение многочлена. На промежутке (-бесконечность;n) число n — наибольшее его значение.

Довольно сложной задачей считается нахождение области значений тригонометрических функций. Примером одной из них считается y = cos (2x) + 2cos (x). Кроме того, при нахождении E (f) необходимо руководствоваться не только табличными значениями. Этих данных мало, поскольку нужно также знать о свойствах некоторых функций и способы нахождения E.

Важные свойства

Для качественного исследования нужно знать свойства простых функций: монотонность, непрерывность, дифференцируемость, четность или нечетность, периодичность, область определения и значения. Среди свойств можно выделить несколько основных:

Последние два свойства применяются для непрерывных функций. Простое решение позволяет получить первое свойство. При этом очень важно доказать ее монотонность. Задача существенно упрощается, когда удается доказать четность или нечетность функции, а также ее периодичность. По необходимости следует проверять и использовать некоторые ее свойства: непрерывность (при разрыве нужно определить его точку или интервал), монотонность, дифференцируемость, периодичность, четность или нечетность и т. д.

Методы нахождения

Существует много способов нахождения области значений. Однако для решения задач нужно подбирать оптимальный метод, поскольку следует избегать лишних вычислений. Например, если функция является простой, то нет необходимости применять сложные алгоритмы решения. К методам нахождения относятся следующие:

Для каждого из методов существует определенный алгоритм. Хотя встречаются случаи, когда целесообразно применить два простых метода. Нужно руководствоваться минимальным количеством вычислений и затраченным временем.

Для каждого элемента

Иногда в задачах следует найти E (f) при условии, когда функция является сложной. Очень распространенная методика разбиения задачи на подзадачи, которая применяется не только в дисциплинах с физико-математическим уклоном, но в экономике, бизнесе и других направлениях. Решение с помощью метода последовательного нахождения E (f) каждой из функций. Алгоритм имеет такой вид:

Однако довольно сложно ориентировать по данному алгоритму, поскольку нужно разобрать решение примера с его помощью. Дана функция y = log0.5 (4 — 2 * 3^x — 9^x). Решается задача таким образом:

Необходимо обратить внимание на пункты 1, 3 и 5. Они являются очень важными, поскольку от них зависит правильность решения. Очень важно уметь анализировать полученную функцию в 4 пункте.

Оценочный способ

Еще одним методом определения E (f) является способ оценки. Необходимо оценить непрерывную функцию в нижнем и верхнем направлениях. Еще следует доказать достижение нижней и верхней границ. Для этой цели существует также алгоритм. Он немного проще предыдущего. Суть его заключается в следующем:

Необходимо разобрать алгоритм на примере функции y = cos (7x) + 5 * cos (x). Следует учитывать, что известен только один знак неравенства. Второй нужно доказать оценочным методом. Решение задачи имеет такой вид:

Производная, min и max

Одним из простейших способов нахождения E (f) является взятие производной функции. Этот метод можно комбинировать с определением максимального и минимального значений. Математики рекомендуют простейший алгоритм:

Практическое применение алгоритма — решение задачи этим методом. Например, нужно найти E (arcsin (x)). Решение выполняется по нескольким этапам:

В некоторых случаях рекомендуется вычислять пределы, поскольку часть задач решается только с их применением. Существует определенный тип задач, в которых нужно доказать, что отрезок является E (f) конкретной функции. Например, следует выяснить принадлежность [-1;1] функции sin (x). Для этого необходимо воспользоваться вышеописанным алгоритмом:

Отрезок [-1;1] является E (sin (x)). Оптимальный метод — нахождение производной и определение E (f). В этом примере необходимо знать и проверить периодичность.

Таким образом, существует несколько способов нахождения E (f), но всегда необходимо выбирать метод, приводящий к минимуму вычислений. Нет смысла усложнять решение, поскольку большинство алгоритмов направлены на оптимизацию вычислений.

Источник

Область значений функции (множество значений функции). Необходимые понятия и примеры нахождения

Зачастую в рамках решения задач нам приходится искать множество значений функции на области определения или отрезке. Например, это нужно делать при решении разных типов неравенств, оценках выражений и др.

В рамках этого материала мы расскажем, что из себя представляет область значений функции, приведем основные методы, которыми ее можно вычислить, и разберем задачи различной степени сложности. Для наглядности отдельные положения проиллюстрированы графиками. Прочитав эту статью, вы получите исчерпывающее представление об области значений функции.

Начнем с базовых определений.

Обратите внимание, что понятие множества значений функции не всегда тождественно области ее значений. Эти понятия будут равнозначны только в том случае, если интервал значений x при нахождении множества значений совпадет с областью определения функции.

Ниже приводится иллюстрация, на которой показаны некоторые примеры. Синие линии – это графики функций, красные – асимптоты, рыжие точки и линии на оси ординат – это области значений функции.

Рассмотрим основные способы нахождения области значений функции.

Возьмем задачу, в которой нужно определить область значений арксинуса.

Решение

Все, что нам нужно сделать, – это вычислить наибольшее и наименьшее значение функции в заданном интервале.

Для определения точек экстремума надо произвести следующие вычисления:

Начнем с определения наибольшей и наименьшей точки, а также промежутков возрастания и убывания на заданном интервале. После этого нам нужно будет вычислить односторонние пределы в концах интервала и/или пределы на бесконечности. Иными словами, нам надо определить поведении функции в заданных условиях. Для этого у нас есть все необходимые данные.

Решение

Определяем наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке

Решение

Решение

Мы получили, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности при изменении значений x от нуля до плюс бесконечности. Значит, множество всех действительных чисел – это и есть область значений функции натурального логарифма.

Ответ: множество всех действительных чисел – область значений функции натурального логарифма.

Решение

Данная функция является определенной при условии, что x – действительное число. Вычислим наибольшие и наименьшие значения функции, а также промежутки ее возрастания и убывания:

Посмотрим, как же ведет себя функция на бесконечности:

Из записи видно, что значения функции в этом случае будут асимптотически приближаться к 0.

На нем видно, что областью значений функции будет интервал E ( y ) = ( 0 ; 9 ]

Ответ: E ( y ) = ( 0 ; 9 ]

А как быть в случае, если область определения некоторой функции представляет из себя объединение нескольких промежутков? Тогда нам надо вычислить множества значений на каждом из этих промежутков и объединить их.

Решение

Для открытого луча 2 ; + ∞ производим точно такие же действия. Функция на нем также является убывающей:

Это можно увидеть на графике:

Особый случай – периодические функции. Их область значения совпадает с множеством значений на том промежутке, который отвечает периоду этой функции.

Решение

Синус относится к периодической функции, а его период составляет 2 пи. Берем отрезок 0 ; 2 π и смотрим, каким будет множество значений на нем.

Если вам нужно знать области значений таких функций, как степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая, то советуем вам перечитать статью об основных элементарных функциях. Теория, которую мы приводим здесь, позволяет проверить указанные там значения. Их желательно выучить, поскольку они часто требуются при решении задач. Если вы знаете области значений основных функций, то легко сможете находить области функций, которые получены из элементарных с помощью геометрического преобразования.

Решение

Еще один пример запишем без пояснений, т.к. он полностью аналогичен предыдущему.

Решение

Теперь разберем, как найти область значений функции, которая не является непрерывной. Для этого нам надо разбить всю область на промежутки и найти множества значений на каждом из них, после чего объединить то, что получилось. Чтобы лучше понять это, советуем повторить основные виды точек разрыва функции.

Решение

Решение показано на графике:

Решение

Она определена для всех значений аргумента, представляющих собой действительные числа. Определим, в каких промежутках данная функция будет возрастать, а в каких убывать:

Теперь найдем соответствующие значения функции:

Посмотрим на поведение функции на бесконечности:

Для вычисления второго предела было использовано правило Лопиталя. Изобразим ход нашего решения на графике.

Источник

Область значения функций в задачах ЕГЭ

Разделы: Математика

Понятие функции и всё, что с ним связано, относится к традиционно сложным, не до конца понятым. Особым камнем преткновения при изучении функции и подготовке к ЕГЭ являются область определения и область значений (изменения) функции.
Нередко учащиеся не видят разницы между областью определения функции и областью её значений.
И если задачи на нахождение области определения функции учащимся удаётся освоить, то задачи на нахождение множества значений функции вызывают у них немалые затруднения.
Цель данной статьи: ознакомление с методами нахождения значений функции.
В результате рассмотрения данной темы был изучен теоретический материал, рассмотрены способы решения задач на нахождение множеств значений функции, подобран дидактический материал для самостоятельной работы учащихся.
Данная статья может быть использована учителем при подготовке учащихся к выпускным и вступительным экзаменам, при изучении темы “Область значения функции” на факультативных занятиях элективных курсах по математике.

I. Определение области значений функции.

Областью (множеством) значений E(у) функции y = f(x) называется множество таких чисел y₀, для каждого из которых найдётся такое число x₀, что: f(x₀) = y₀.

Напомним области значений основных элементарных функций.

Функция	Множество значений
y = kx+ b	E(y) = (-∞;+∞)
y = x 2n	E(y) = [0;+∞)
y = x 2n +1	E(y) = (-∞;+∞)
y = k/x	E(y) = (-∞;0)u(0;+∞)
y = x 1/2n	E(y) = [0;+∞)
y = x 1/2n+1	E(y) = (-∞;+∞)
y = a x	E(y) = (0;+∞)
y = log_ax	E(y) = (-∞;+∞)
y = sin x	E(y) = [-1;1]
y = cos x	E(y) = [-1;1]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = arcsin x	E(y) = [-π/2 ; π/2]
y = arcos x	E(y) = [0; π]
y = arctg x	E(y) = (-π/2 ; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0; π)

II. Свойства функций, используемые при нахождении области значений функции

Для успешного нахождения множества значений функции надо хорошо знать свойства основных элементарных функций, особенно их области определения, области значений и характер монотонности. Приведём свойства непрерывных, монотонных дифференцируемых функций, наиболее часто используемые при нахождении множества значений функций.

Свойства 2 и 3, как правило, используются вместе свойством элементарной функции быть непрерывной в своей области определения. При этом наиболее простое и краткое решение задачи на нахождение множества значений функции достигается на основании свойства 1, если несложными методами удаётся определить монотонность функции. Решение задачи ещё упрощается, если функция, вдобавок, – чётная или нечётная, периодическая и т.д. Таким образом, при решении задач на нахождение множеств значений функции следует по мере надобности проверять и использовать следующие свойства функции:

Несложные задачи на нахождение множества значений функции в большинстве своём ориентированны:

б) на выделение полного квадрата: х 2 – 4х + 7 = (х – 2) 2 + 3;

в) на преобразование тригонометрических выражений: 2sin 2 x – 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

г) использование монотонности функции x 1/3 + 2 x-1 возрастает на R.

III. Рассмотрим способы нахождения областей значений функций.

а) последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
б) метод оценок;
в) использование свойств непрерывности и монотонности функции;
г) использование производной;
д) использование наибольшего и наименьшего значений функции;
е) графический метод;
ж) метод введения параметра;
з) метод обратной функции.

Раскроем суть этих методов на конкретных примерах.

Пример 1. Найдите область значений E(y) функции y = log_0,5(4 – 2·3 x – 9 x ).

Решим этот пример методом последовательного нахождения значений сложных аргументов функции. Выделив полный квадрат под логарифмом, преобразуем функцию

y = log_0,5(5 – (1 + 2·3 x – 3 2x )) = log_0,5(5 – (3 x + 1) 2 )

И последовательно найдём множества значений её сложных аргументов:

E(3 x ) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2 ) = (-∞;4)

Пример 2. Найдите область значений функции

Решим этот пример методом оценок, суть которого состоит в оценке непрерывной функции снизу и сверху и в доказательстве достижения функцией нижней и верхней границы оценок. При этом совпадение множества значений функции с промежутком от нижней границы оценки до верхней обуславливается непрерывностью функции и отсутствием у неё других значений.

Пример 3. Найдите область значений E(f) функции f(x) = cos2x + 2cosx.

По формуле косинуса двойного угла преобразуем функция f(x) = 2cos 2 x + 2cosx – 1 и обозначим t = cosx. Тогда f(x) = 2t 2 + 2t – 1. Так как E(cosx) =

[-1;1], то область значений функции f(x) совпадает со множеством значений функции g(t) = 2t 2 + 2t – 1 на отрезке [-1;1], которое найдём графическим методом. Построив график функции y = 2t 2 + 2t – 1 = 2(t + 0,5) 2 – 1,5 на промежутке [-1;1], находим E(f) = [-1,5; 3].

Замечание – к нахождению множества значений функции сводятся многие задачи с параметром, связанные, в основном, с разрешимостью и числом решений уравнения и неравенств. Например, уравнение f(x) = а разрешимо тогда и только тогда, когда

a E(f) Аналогично, уравнение f(x) = а имеет хотя бы один корень, расположенный на некотором промежутке Х, или не имеет ни одного корня на этом промежутке тогда и только тогда, когда а принадлежит или не принадлежит множеству значений функции f(x) на промежутке Х. Также исследуются с привлечением множества значений функции и неравенства f(x)≠ а, f(x)>а и т.д. В частности, f(x)≠ а для всех допустимых значений х, если a E(f)

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) имеет единственный корень на отрезке [-4;-1].

На отрезке [-4;-1] функция y = xІ + 4 непрерывна, убывает и положительна, поэтому функция g(x) = 1/(x 2 + 4) непрерывна и возрастает на этом отрезке, так как при делении на положительную функцию характер монотонности функции меняется на противоположный. Функция h(x) = (x + 5) 1/2 непрерывна и возрастает в своей области определения D(h) = [-5;+∞) и, в частности на отрезке [-4;-1], где она, кроме того, положительна. Тогда функция f(x)=g(x)·h(x), как произведение двух непрерывных, возрастающих и положительных функций, также непрерывна и возрастает на отрезке [-4;-1], поэтому её множество значений на [-4;-1] есть отрезок [f(-4); f(-1)] = [0,05; 0,4]. Следовательно, уравнение имеет решение на отрезке [-4;-1], причём единственное (по свойству непрерывной монотонной функции), при 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Замечание. Разрешимость уравнения f(x) = a на некотором промежутке Х равносильна принадлежности значений параметра а множеству значений функции f(x) на Х. Следовательно, множество значений функции f(x) на промежутке Х совпадает с множеством значений параметра а, для которых уравнение f(x) = a имеет хотя бы один корень на промежутке Х. В частности, область значений E(f) функции f(x)совпадает с множеством значений параметра а, для которых уравнение f(x) = a имеет хотя бы один корень.

Пример 5. Найдите область значений E(f) функции

Решим пример методом введения параметра, согласно которому E(f) совпадает с множеством значений параметра а, для которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

Так как точка а = 2 принадлежит отрезку

то искомым множеством значений параметра а, значит, и областью значений E(f) будет весь отрезок.

Как непосредственное развитие метода введения параметра при нахождении множества значений функции, можно рассматривать метод обратной функции, для нахождения которой надо решить относительно х уравнение f(x)= y, считая y параметром. Если это уравнение имеет единственное решение x =g(y), то область значений E(f) исходной функции f(x) совпадает с областью определения D(g) обратной функции g(y). Если же уравнение f(x)= y имеет несколько решений x =g₁(y), x =g₂(y) и т.д., то E(f) равна объединению областей определений функции g₁(y), g₂(y) и т.д.

Пример 6. Найдите область значений E(y) функции y = 5 2/(1-3x).

найдём обратную функцию x = log₃((log₅y – 2)/(log₅y)) и её область определения D(x):

Так как уравнения относительно х имеет единственное решение, то

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+ ∞ ).

Если область определения функции состоит из нескольких промежутков или функция на разных промежутках задана разными формулами, то для нахождения области значений функции надо найти множества значений функции на каждом промежутке и взять их объединение.

Пример 7. Найдите области значений f(x) и f(f(x)), где

Теперь, объединив промежутки [9;+∞) и [5;9] – множества значений функции f(f(x)), обозначим t = f(x). Тогда f(f(x)) = f(t), где При указанных t функция f(t) = 2cos(x-1) 1/2 + 7 и она снова принимает все значения от 5 до 9 включительно, т.е. область значений E(fІ) = E(f(f(x))) = [5;9].

Аналогично, обозначив z = f(f(x)), можно найти область значений E(f 3 ) функции f(f(f(x))) = f(z), где 5 ≤ z ≤ 9 и т.д. Убедитесь, что E(f 3 ) = [2cos8 1/2 + 7; 2cos2 + 7].

Наиболее универсальным методом нахождения множества значений функции является использование наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке.

0,5 ≤ t 3 – 2t 2 + t при 0,5 ≤ t 2 – 4t + 1. Следовательно, f(t) дифференцируема, значит, и непрерывна на отрезке [0,5;4]. Из уравнения f’(t) = 0 найдём критические точки функции t = 1/3, t = 1, первая из которых не принадлежит отрезку [0,5;4], а вторая принадлежит ему. Так как f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, то, по свойству дифференцируемой функции, 0 – наименьшее, а 36 – наибольшее значение функции f(t) на отрезке [0,5;4]. Тогда f(t), как непрерывная функция, принимает на отрезке [0,5;4] все значения от 0 до 36 включительно, причём значение 36 принимает только при t = 4, поэтому при 0,5 ≤ t

Данная тема имеет практическое значение. В школьном курсе математики изучается тема “Область значения функции”. Такие задачи обязательно содержатся в заданиях различных математических тестов, в частности в заданиях единого государственного экзамена.
Результаты работы можно использовать на уроках и дополнительных занятиях при подготовке учащихся выпускным и вступительным экзаменам, при самостоятельной подготовке учащихся по данной теме.

Источник