Метод трапеций
Общие понятия
Методом трапеций является такой метод приближенного интегрирования, который применяют тогда, когда невозможно вычислить первообразную функции и определить с ее помощью интеграл.
Метод трапеций не является единственным методом приближенного интегрирования, на ряду с ним есть и другие, к примеру, метод средних прямоугольников и метод парабол.
Метод трапеций очень схож с методом средних прямоугольников, но считается не таким точным.
Суть метода трапеций
Выбираем число отрезков, на которые разобьём заданный интервал, и вычислим длину каждого такого отрезка по формуле:
При расчетах методом трапеций соединяем одну с другой соседние точки разбивки, в итоге образовываются отдельные сегменты. Таким образом, значение функции f(x) берем на границах каждого отрезка.
Вычисляем площадь каждой элементарной трапеции по формуле:
Запишем общую формулу приближенного расчета интеграла методом трапеций:
Погрешность применения метода трапеций
Погрешность применения метода трапеций рассчитывается по формуле:
Данный метод удобнее всего применять, когда сама функция \(f(x)\) не задана, но заданы значения, которые она принимает в точках разбивки. Если график задан, то вычисления проще и точнее проводить при помощи метода средних прямоугольников.
Не нашли что искали?
Просто напиши и мы поможем
Рассмотрим пример решения подобной задачи.
Задача 1. Вычислить интеграл \(∫_1^2
Порядок решения:
1) Разбиваем заданную функцию на 10 равных отрезков.
2) Оцениваем погрешность расчетов:
то есть погрешность при \(n=10\) меньше заданной, это означает, что для расчета достаточно разбить отрезок на 10 сегментов.
3) Длина каждого сегмента будет равна:
4)Рассчитываем значение функции для границ каждого отрезка:
\(x_0=1,0; y_0=1,0000;\\ x_1=1,1; y_1=0,9091;\\ x_2=1,2; y_2=0,8333;\\ x_3=1,3; y_3=0,7692;\\ x_4=1,4; y_4=0,7143;\\ x_5=1,5; y_5=0,6667;\\ x_6=1,6; y_6=0,6250;\\ x_7=1,7; y_7=0,5882;\\ x_8=1,8; y_8=0,5556;\\ x_9=1,9; y_9=0,5263;\\ x_10=2,0; y_10=0,5000.\)
5) Рассчитываем сумму найденных значений, она равна 6,1877.
Сложно разобраться самому?
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
6) Таким образом, значение интеграла будет равно:
Найденное значение интеграла соответствует необходимой точности.
Вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel
Цель урока: Совершенствование умений и навыков по теме «Численное интегрирование», применяя возможности MS Excel по вычисление определенных интегралов методом трапеции. Отработать практическое освоение соответствующих умений и навыков.
Задачи урока:
Тип урока: комбинированный урок.
Вид урока: практическое занятие, продолжительность – 2 часа.
Оборудование урока:
Структура урока:
1.Актуализация знаний:
1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок;
1.2.Фронтальный опрос с целью выявления основных этапов решения задач интегрирования и методики решения;
1.3. Постановка задачи с целью повторения алгоритма вычисления определенных интегралов методом трапеции;
1.4.Подведение итогов 1 этапа урока.
2.Применение знаний, формирование умений и навыков:
2.1.Беседа с целью формулировки задания для самостоятельной работы и инструктажа по ее организации;
2.2.Самостоятельная работа в группах по выполнению задания вычисления определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.
2.3.Подведение итога урока.
В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики Microsoft PowerPoint.
ХОД УРОКА
1. Актуализация знаний
1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок.
На прошлых уроках мы с Вами изучили приближенное вычисление определенных интегралов, выделили методы их решения и решали данные интегралы ручным счетом. А на сегодняшнем занятии мы будем совершенствовать умения и навыки при вычислении определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.
— В чем заключается вычисление интеграла?
— Важным средством вычисления определенных интегралов является формула Ньютона-Лейбница 
. Ее применение на практике связано с существенными трудностями, возникающими при нахождении первообразной в случае подынтегральной функции. Поэтому применяют численные методы, позволяющие найти приближенное значение исходного интеграла с заданной точностью.
— Общий подход к ее решению состоит в том, чтобы аппроксимировать функцию 
какой-либо другой функцией 
, для которой интеграл вычисляется аналитически.
— Тогда для решения задачи строим 
с оценкой погрешности 
, и приближенно 
с очевидной оценкой погрешности 
.
— Введем на отрезке 
сетку 
, 
, где 
, и таблицу значений 
, 
.
— Рассмотрим простой вариант построения функции 
, приводящий к формуле трапеций.
— При этом функция 
строится как кусочно-линейная интерполяция значений 
, 
на равномерной сетке с шагом 
.
=
.
— Формулы такого рода (
) называют механическими квадратурами, 
– коэффициентами (весами) квадратуры, 
– ее узлами.
Точность формулы трапеций зависит от гладкости функции 
. Если она на 
имеет первую производную, ограниченную числом 
, то 
, и погрешность формулы трапеций не превосходит 
. Если 
на 
имеет вторую производную, ограниченную числом 
, то погрешность формулы итераций не превосходит 
, поскольку 
.
Теоретические оценки погрешностей не всегда применяются. Если требуется вычислить интеграл с погрешностью 
, то мало кто сначала оценит третью производную функции 
и вычислит шаг сетки 
. Эта оценка и значение константы 
завышены. Кроме того, само вычисление 
может быть трудным, особенно если 
задана некоторым сложным образом.
Поэтому, вычисляя интеграл с небольшим числом узлов 
, получают его значение 
; вычисляя интеграл с удвоенным 
, получают 
. Если модуль 
(где ε – предельное допустимое значение погрешности расчета), то задачу считают решенной. В противном случае вычисляют 
и т.д. Для гладких функций 
часто интеграл вычисляется очень точно при малом числе узлов.
— Объясните алгоритм вычисления интеграла различными методами?
2. Применение знаний, формирование умений и навыков
Практическое задание «Вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.»
Состав задания:
Индивидуальное расчетное задание:
Постановка задачи:
Найти: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций, приняв предельное значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,02.
Таблица Исходная информация
Метод трапеций
Сегодня мы познакомимся с еще одним методом численного интегрирования, методом трапеций. С его помощью мы будем вычислять определенные интегралы с заданной степенью точности. В статье мы опишем суть метода трапеций, разберем, как выводится формула, сравним метод трапеции с методом прямоугольника, запишем оценку абсолютной погрешности метода. Каждый из разделов мы проиллюстрируем примерами для более глубокого понимания материала.
Метод трапеций
При бесконечном увеличении n сведем все случаи к четырем простейшим вариантам:
Давайте посмотрим, почему метод численного интегрирования, который мы изучаем, носит название метода трапеций. Для этого нам нужно выяснить, что с точки зрения геометрии означает записанное приближенное равенство.
Формула метода трапеций
Оценка абсолютной погрешности метода трапеций
Оценим абсолютную погрешность метода трапеций следующим образом:
Графическая иллюстрация метода трапеций
Графическая иллюстрация метода трапеций приведена на рисунке:
Примеры вычислений
Разберем примеры использования метода трапеций для приближенного вычисления определенных интегралов. Особое внимание уделим двум разновидностям заданий:
Рассмотрим приведенное выше правило на примере. Для этого сравним значения определенного интеграла, вычисленного по формуле Ньютона-Лейбница и полученного по методу трапеций.
Решение
Внесем результаты вычислений в таблицу:
Сравним наши результаты с результатами, вычисленными по формуле Ньютона-Лейбница. Полученные значения совпадают до сотых.
Решение
Количество элементарных интервалов, на которые разбивается отрезок интегрирования n является натуральным числом. Для поведения вычислений возьмем n равное шести. Такое значение n позволит нам достичь заданной точности метода трапеций при минимуме расчетов.
Результаты вычислений запишем в виде таблицы:
Подставим полученные результаты в формулу трапеций:
Для проведения сравнения вычислим исходный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
Как видим, полученной точности вычислений мы достигли.
Для подынтегральных функций сложного вида нахождение числа n из неравенства для оценки абсолютной погрешности не всегда просто. В этом случае будет уместен следующий метод.
Такой метод требует проведения большого объема вычислений, поэтому разумно использовать вычислительную технику для экономии времени.
Решим с помощью приведенного выше алгоритма задачу. С целью экономии времени опустим промежуточные вычисления по методу трапеций.
Решение
Погрешности
Промежуточные вычисления для определения значения определенного интеграла проводят в большинстве своем приближенно. Это значит, что при увеличении n начинает накапливаться вычислительная погрешность.
Сравним оценки абсолютных погрешностей метода трапеций и метода средних прямоугольников:
Метод прямоугольников для заданного n при одинаковом объеме вычислительной работы дает вдвое меньшую погрешность. Это делает метод более предпочтительным в тех случаях, когда известны значения функции в средних отрезках элементарных отрезков.
В тех случаях, когда интегрируемые функции задаются не аналитически, а в виде множества значений в узлах, мы можем использовать метод трапеций.
Если сравнивать точность метода трапеций и метода правых и левых прямоугольников, то первый метод превосходит второй в точности результата.
Формула трапеций
Численное интегрирование (историческое название: квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых 
и 
, где 
и 
— пределы интегрирования (см. рисунок).
Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.
Содержание
Одномерный случай
Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида
где 
— число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки 
называются узлами метода, числа 
— весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.
Метод прямоугольников
Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке 
. Этот отрезок делится точками 
на равных отрезков длиной 
Обозначим через 
значение функции 
в точках 
Далее составляем суммы 
Каждая из сумм — интегральная сумма для на и поэтому приближённо выражает интеграл
Если заданная функция — положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, а формула
выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.
Метод трапеций
Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.
Площадь трапеции на каждом отрезке:
Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:
где 
Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h :
где 
Погрешность формулы трапеций:
где 
Метод парабол (метод Симпсона)
Использовав три точки отрезка интегрирования можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид
.
Если разбить интервал интегрирования на 2N равных частей, то имеем
где 
.
Увеличение точности
Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.
Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.
При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.
Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.
Метод Гаусса
.
Значения узлов метода Гаусса и их весов приводятся в справочниках специальных функций. Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам.
Метод Гаусса-Кронрода
Недостаток метода Гаусса состоит в том, что он не имеет лёгкого (с вычислительной точки зрения) пути оценки погрешности полученного значения интеграла. Использование правила Рунге требует вычисления подынтегральной функции примерно в таком же числе точек, не давая при этом практически никакого выигрыша точности, в отличие от простых методов, где точность увеличивается в несколько раз при каждом новом разбиении. Кронродом был предложен следующий метод оценки значения интеграла
,
Тогда для оценки погрешности можно использовать эмпирическую формулу:
,
где IG — приближённое значение интеграла, полученное методом Гаусса по n точкам. Библиотеки gsl и SLATEC для вычисления определённых интегралов содержат подпрограммы, использующие метод Гаусса-Кронрода по 15, 21, 31, 41, 51 и 61 точкам.
Метод Чебышёва
Интегрирование при бесконечных пределах
Для интегрирования по бесконечным пределам нужно ввести неравномерную сетку, шаги которой нарастают при стремлении к бесконечности, либо можно сделать такую замену переменных в интеграле, после которой пределы будут конечны. Аналогичным образом можно поступить, если функция особая на концах отрезка интегрирования