Как посчитать аргумент комплексного числа

Комплексные числа

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

Аналогично выполним вычитание чисел:

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

Так, теперь разделим первое число на второе:

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

Найдем чем равен аргумент:

$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$

Записываем в тригонометрическом виде:

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

Источник

Как посчитать аргумент комплексного числа

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и называются комплексно сопряженными.

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол ( k =0;–1;1;–2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z ₂ можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Источник

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Комплексные числа

Такое расширение должно «наследовать» все свойства вещественных чисел, т.е. в этом множестве операции должны подчиняться аксиомам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности:

Определение

В отличие от суммы комплексных чисел, определение произведения кажется довольно искусственным. Ответ на вопрос

Что послужило основанием для такого правила умножения?

Теперь осталось определить операции, противоположные сложению и умножению, т.е. вычитание и деление.

Пример. Найти нормальную форму числа

Прием, использованный нами при решении последнего примера, можно сделать универсальным.

Однако, несмотря на то, что не всегда удается установить параллель между свойствами двух объектов, хотя бы некоторые результаты, а также приемы исследования, могут допускать распространение. Один из таких приемов лежит на виду. Вспомним, что вектор на плоскости может быть задан не только в декартовых координатах, но и в полярных, т.е. своей длиной и углом, образованным вектором с полярной осью.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Доказательство следует из аксиомы равенства комплексных чисел. ♦

Тригонометрическая форма комплексных чисел позволяет дать геометрическую интерпретацию правилам их умножения и деления.

Теорема. Имеет место равенство:

Индукцией по числу сомножителей показывается справедливость общей формулы:

В частном случае, когда все сомножители одинаковы, приходим к одной замечательной формуле —

Формула Муавра

Справедлива формула возведения в степень комплексного числа, представленного в тригонометрической форме:

Пример. Вычислить

Неравенства для модуля

Доказать «равенство параллелограмма»:

Выведение тригонометрических формул

Сумма синусов (косинусов)

Ответ ☞ ЗДЕСЬ

Применение формулы суммы косинусов см. в разделе ☞ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Синус и косинус кратного угла

Пример.

Решение ☞ ЗДЕСЬ.

Извлечение корня из комплексного числа

Квадратный корень

Общий случай

Корни из единицы

Теорема. Корень

В каком случае степень первообразного корня будет первообразным корнем?

Подробнее об уравнении деления круга ☞ ЗДЕСЬ

Экспоненциальное представление комплексного числа

Еще одно представление комплексного числа может быть организовано на основании важной функции комплексного аргумента.

Теорема [Эйлер]. Формула

Следующая формула Эйлера связывает между собой четыре знаменитые математические величины:

См. по поводу этой формулы ☞ цитату А.Н.Крылова.

Тригонометрические функции комплексного аргумента могут быть выражены как линейные комбинации экспонент:

А зачем они всё же нужны?

Этот вопрос — о полезности комплексных чисел, о необходимости их введения — остается открытым. Проанализируем все полученные в настоящем разделе результаты на предмет ответа на вопрос: «стоила ли овчинка выделки?», т.е. оправдано ли введение новой (и подозрительно мнимой) сущности получением новых и вещественных результатов?

Задачи

Источники

[1]. Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948

[2]. Задача № E 1899 из журнала American Mathematical Monthly, v. 74, N 8, 1967, c. 1010

[3]. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. М.Едиториал УРСС, 2004

[4]. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.Наука. 1984

[5]. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М. Наука. 1965

Источник