изображение отрицательных чисел в прямом обратном дополнительном кодах

Обратный и дополнительный коды двоичных чисел

Пример перевода
x₁=10101-[x₁]_пр=010101
x₂=-11101-[x₂]_пр=111101
x₃=0,101-[x₃]_пр=0,101
x₄=-0,111-[x₄]_пр=1,111
2) Обратный код числа, используется для выполнения арифметических операций вычитания, умножения, деления, через сложение. Обратный код положительного числа совпадает с его прямым кодом, обратный код отрицательного числа формируется по правилам: в знаковом разряде записывается “1”; цифровые значения меняются на противоположные.

3) Дополнительный код числа, имеет такое же назначение, как и обратный код числа. Формируется по следующим правилам: положительные числа в дополнительном коде выглядят также как и в обратном и в прямом коде, т.е. не изменяются. Отрицательные числа кодируются следующим образом: к обратному коду отрицательного числа (к младшему разряду) добавляется 1, по правилу двоичной арифметики.

Пример перевода
x₁=10101-[x₁]_доп=010101
x₂=-11101-[x₂]_обр=100010+1-[x₂]_доп=100011
x₃=0,101-[x₃]_доп=0,101
x₄=-0,111-[x₄]_обр=1,000+1-[x₄]_доп=1,001
Для выявления ошибок при выполнении арифметических операций используются также модифицированные коды: модифицированный прямой; модифицированный обратный; модифицированный дополнительный, для которых под код знака числа отводится два разряда, т.е. “+”=00; ”-”=11. Если в результате выполнения операции в знаковом разряде появляется комбинация 10 или 01 то для машины это признак ошибки, если 00 или 11 то результат верный.

Источник

Представление положительных и отрицательных чисел в памяти компьютера. Прямой и дополнительный код числа

Прямой код

Прямой код – это представление числа в двоичной системе счисления, при котором первый (старший) разряд отводится под знак числа. Если число положительное, то в левый разряд записывается 0; если число отрицательное, то в левый разряд записывается 1.

Таким образом, в двоичной системе счисления, используя прямой код, в восьмиразрядной ячейке (байте) можно записать семиразрядное число. Например:

0 0001101 – положительное число
1 0001101 – отрицательное число

При этом в вычислительной технике прямой код используется почти исключительно для представления положительных чисел.

Для отрицательных чисел используется так называемый дополнительный код. Это связано с удобством выполнения операций над числами электронными устройствами компьютера.

Дополнительный код

В дополнительном коде, также как и прямом, первый разряд отводится для представления знака числа. Прямой код используется для представления положительных чисел, а дополнительный – для представления отрицательных. Поэтому, если в первом разряде находится 1, то мы имеем дело с дополнительным кодом и с отрицательным числом.

Все остальные разряды числа в дополнительном коде сначала инвертируются, т.е. заменяются противоположными (0 на 1, а 1 на 0). Например, если 1 0001100 – это прямой код числа, то при формировании его дополнительного кода, сначала надо заменить нули на единицы, а единицы на нули, кроме первого разряда. Получаем 1 1110011. Но это еще не окончательный вид дополнительного кода числа.

Далее следует прибавить единицу к получившемуся инверсией числу:

1 1110011 + 1 = 1 1110100

В итоге и получается число, которое принято называть дополнительным кодом числа.

Причина, по которой используется дополнительный код числа для представления отрицательных чисел, связана с тем, что так проще выполнять математические операции. Например, у нас два числа, представленных в прямом коде. Одно число положительное, другое – отрицательное и эти числа нужно сложить. Однако просто сложить их нельзя. Сначала компьютер должен определить, что это за числа. Выяснив, что одно число отрицательное, ему следует заменить операцию сложения операцией вычитания. Потом, машина должна определить, какое число больше по модулю, чтобы выяснить знак результата и определиться с тем, что из чего вычитать. В итоге, получается сложный алгоритм. Куда проще складывать числа, если отрицательные преобразованы в дополнительный код. Это можно увидеть на примерах ниже.

Источник

Изображение отрицательных чисел в прямом и дополнительном кодах

В ЭВМ применяют специальные коды: прямой, обратный и дополнительный. Обратный и дополнительный используются для замены операции вычитания сложением. Прямой код применяется при умножении и делении. Кроме того, он используется для представления отрицательных чисел в запоминающем устройстве машины и ряде устройств, где другие коды не применяются. Изображение положительных чисел во всех кодах совпадает.

Число Х в прямом коде изображается [X] пр. Прямой код числа Х получается по следующему правилу:

Если Х = + 0,Х1*Х2*Х3…, то [Х]пр = 0,Х1*Х2*Х3… Если Х = 0,Х1*Х2*Х3…, то [Х]пр = 1,Х1*Х2*Х3… Прямой код двоичного числа совпадает по изображению

с записью самого числа, но в разряде знака ставится 0, если число положительное; и 1, если число отрицательное.

Пример. Пусть имеется число — 0,1011,, которое требуется перевести в прямой код

Х = — 0,1011 и [Х]пр = 1,1011

Число Х в обратном коде обозначается [Х]обр. При Х >0 [Х]обр = [Х]пр = Х.

Для отрицательного числа, обратный код получается по следующему правилу: в знаковый разряд числа записывается единица, а в цифровых разрядах нули заменяются единицами, а единицы нулями.

В общем виде отрицательное число Х = — 0,Х1*Х2*Х3…

будет изображаться в обратном коде как [Х]обр =

1, Х 1* Х 2 * Х 3 … (черта означает обращение разряда, т.е.

Пример. Перевести число 0,10001 в обратный код.

Х = — 0,10001 и [Х]обр = 1,01110

Дополнительный код числа Х обозначается [Х]доп. При Х > 0, [Х]доп = [Х]пр = Х

Для отрицательного числа дополнительный код получается путем обращения разрядов числа (аналогично тому, как это выполняется в обратном коде), после чего в младший разряд числа прибавляется единица.

Для отрицательного числа Х=-0,Х1*Х2*Х3… дополнительный

код будет [Х]доп = 1, Х 1* Х 2 * Х 3 +0,0…1

Пример. Перевести число — 0,10111 в дополнительный код.

Х = — 0,10111 и [Х]доп = 1,01001

Особенность дополнительного кода заключается в том, что так же как и в десятичной системе, здесь можно брать дополнение любого отрицательного числа до основания системы (до десяти в десятичной и до двух в двоичной системе счисления). При этом необходимо иметь в виду, что дополнение числа до 10 (двойка в двоичном коде) равно его дополнению до

1 плюс 1. Это значит, что дополнение числа до двух можно получить, взяв дополнение каждого разряда двоичного числа до

1 и добавляя затем 1 в младший разряд.

Так и поступают в машинах, т.к. это дает возможность получать дополнение до 1 в каждом двоичном разряде простым обращением разрядов. Действительно, если поменять нули на единицы и единицы на нули в нашем числе 10011, то получим тот же результат, что и при вычитании его из единиц: 1001101100. Из всего сказанного вытекает, что

Таким образом, чтобы получить число в дополнительном коде, его сначала преобразуют в обратный код (путем простого обращения разрядов), а затем к младшему разряду полученного числа прибавляют единицу.

Пример. Пусть из 5 требуется вычесть 2.

а) в десятичной системе: б) в двоичной системе:

В дополнительном коде

а) в десятичной системе:

Возьмем дополнение отрицательного числа (вычитаемого) до десяти (основание десятичной системы) и сложим его с уменьшаемым:

10 5

8 13

Единица переноса отбрасывается и остается результат,

б) в двоичной системе:

Возьмем дополнение вычитаемого до двух (основание двоичной системы) и сложим его с уменьшаемым:

1000 101

010 110

110 (дополнительный код числа 010) 1011

Единица переноса отбрасывается и остается результат

а) в десятичной системе:

Возьмем дополнение вычитаемого до девяти (основание минус единица) и сложим его с уменьшаемым:

2 + 7

7 (дополнение числа 2 до 9) +

1

Возникающая единица переноса прибавляется к младшему разряду суммы и получается результат, равный трем.

б) в двоичной системе:

Возьмем дополнение вычитаемого до единицы

(основание два минус единица) сложим его с уменьшаемым:

010 101

101 (обратный код числа 010) 1010 +

1

Возникшая единица переноса прибавляется к младшему разряду суммы кодов и получается результат, равный трем.

Из рассмотренного следует:

1. Как дополнительный, так и обратный коды позволяют заменить операцию вычитания сложением.

2. При сложении чисел в дополнительном коде возникающая единица переноса отбрасывается, а при сложении в обратном коде эта единица прибавляется к младшему разряду суммы кодов.

Материал взят из книги Микропроцессорные средства (Сечина Г.П.)

Источник

Прямой, дополнительный и обратный коды

Прямой, дополнительный и обратный код числа (создан по запросу).

Далее идет калькулятор, который переводит введенное положительное или отрицательное целое число в двоичный код, а также выводит обратный код этого числа и его дополнительный код. Под калькулятором, как водится, немного теории.

Обновление: Из комментариев становится ясно, что люди не вполне понимают, что делает этот калькулятор. Точнее, что делал — применял алгоритм вычисления дополнительного кода к любому числу. Люди хотят, чтобы он им просто показывал дополнительный код числа. Ну хорошо — теперь при вводе положительного числа калькулятор показывает представление числа в двоичной форме, ибо для него нет обратного и дополнительного кода, а при вводе отрицательного показывает дополнительный и обратный код.

Прямой, дополнительный и обратный код

Прямой код числа это представление беззнакового двоичного числа. Если речь идет о машинной арифметике, то как правило на представление числа отводится определенное ограниченное число разрядов. Диапазон чисел, который можно представить числом разрядов n равен

Обратный код числа, или дополнение до единицы (one’s complement) это инвертирование прямого кода (поэтому его еще называют инверсный код). То есть все нули заменяются на единицы, а единицы на нули.

Дополнительный код числа, или дополнение до двойки (two’s complement) это обратный код, к младшему значащему разряду которого прибавлена единица

А теперь «зачем, зачем это все?» ©

Для различия положительных и отрицательных чисел выделяют старший разряд числа, который называется знаковым (sign bit)
0 в этом разряде говорит нам о том, что это положительное число, а 1 — отрицательное.

С положительными числами все вроде бы понятно, для их представления можно использовать прямой код
0 — 0000
1 — 0001
7 — 0111

А как представить отрицательные числа?

И это оказалось очень удобно для машинных вычислений — при таком представлении отрицательного числа операции сложения и вычитания можно реализовать одной схемой сложения, при этом очень легко определять переполнение результата (когда для представления получившегося числа не хватает разрядности)

Пара примеров
7-3=4
0111 прямой код 7
1101 дополнительный код 3
0100 результат сложения 4

-1+7=6
1111 дополнительный код 1
0111 прямой код 7
0110 результат сложения 6

Что касается переполнения — оно определяется по двум последним переносам, включая перенос за старший разряд. При этом если переносы 11 или 00, то переполнения не было, а если 01 или 10, то было. При этом, если переполнения не было, то выход за разряды можно игнорировать.

Примеры где показаны переносы и пятый разряд

00111 прямой код 7
00001 прямой код 1
01110 переносы
01000 результат 8 — переполнение

Два последних переноса 01 — переполнение

-7+7=0
00111 прямой код 7
01001 дополнительный код 7
11110 переносы
10000 результат 16 — но пятый разряд можно игнорировать, реальный результат 0

Два последних переноса 11 з перенос в пятый разряд можно отбросить, оставшийся результат, ноль, арифметически корректен.
Опять же проверять на переполнение можно простейшей операцией XOR двух бит переносов.

Вот благодаря таким удобным свойствам дополнительный код это самый распространенный способ представления отрицательных чисел в машинной арифметике.

Источник

Прямой, обратный и дополнительный коды двоичного числа

Прямой код двоичного числа
Обратный код двоичного числа
Дополнительный код двоичного числа

Мы знаем, что десятичное число можно представить в двоичном виде. К примеру, десятичное число 100 в двоичном виде будет равно 1100100, или в восьмибитном представлении 0110 0100. А как представить отрицательное десятичное число в двоичном виде и произвести с ним арифметические операции? Для этого и предназначены разные способы представления чисел в двоичном коде.
Сразу отмечу, что положительные числа в двоичном коде вне зависимости от способа представления (прямой, обратный или дополнительный коды) имеют одинаковый вид.

Прямой код

Обратный код

Для неотрицательных чисел обратный код двоичного числа имеет тот же вид, что и запись неотрицательного числа в прямом коде.
Для отрицательных чисел обратный код получается из неотрицательного числа в прямом коде, путем инвертирования всех битов (1 меняем на 0, а 0 меняем на 1).
Для преобразования отрицательного числа записанное в обратном коде в положительное достаточного его проинвертировать.

Арифметические операции с отрицательными числами в обратном коде:

Дополнительный код

В дополнительном коде (как и в прямом и обратном) старший разряд отводится для представления знака числа (знаковый бит).

Арифметические операции с отрицательными числами в дополнительном коде

Вывод:
1. Для арифметических операций сложения и вычитания положительных двоичных чисел наиболее подходит применение прямого кода
2. Для арифметических операций сложения и вычитания отрицательных двоичных чисел наиболее подходит применение дополнительного кода

(35 голосов, оценка: 4,69 из 5)

Источник