алгебраически замкнутое поле пример

Симметрические многочлены

Определение: Многочлен называется симметрическимесли он не меняется при любой перестановке переменных.

Пример: -симметрический многочлен

не симметрический.

Строение симметрических многочленов можно представить в виде: Пусть некоторая перестановка чисел 1,2,…,n. Если симметрический многочлен содержит член , то он и должен содержать член .

Симметрический многочлен является суммой однородных симметрических многочленов. Особую роль среди симметрических многочленов играют так называемые элементарные симметрические многочлены:

Определение: Многочлен называется однородным степени m,если все его члены имеют степень m.

Пример:

Очевидно, что сумма двух однородных многочленов одинаковой степени, есть однородный многочлен той же степени.

Произведение однородных многочленов степени и есть однородный многочлен степени .

17. Многочлены над числовым полем.

Алгебраически замкнутое поле-это поле K в котором каждый многочлен не нулевой степени над полем K имеет хотя бы один корень.

Пример: поле комплексных чисел является алгебраически замкнутым.

Пример: поле действительных чисел не является алгебраически замкнутым, то есть:

Свойства:

1) В алгебраически замкнутом поле K каждый многочлен степени n имеет ровно n корней в этом поле ( с учетом кратности)

2) Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Например: можно рассматривать многочлен конечной степени, корнями которого являются все элементы поля, если к нему прибавить единицу, то многочлен не будет иметь корней.

3) Алгебраическим замыканием поля действительных чисел является поле комплексных чисел, его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.

4) Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.

5) Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.

Определение: Число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-либо алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.

Пример:

Теорема Виета: Если многочлен P(x) степени n имеет n различных корней то имеет место следующие соотношения:

В случае, когда уравнение четвертой степени имеем: , где

Корни будут:

Основная теорема алгебры (теорема Гаусса):Всякий многочлен n-ой степени имеет по крайней мере один комплексный корень.

Следствие: Многочлен степени n с комплексными коэффициентами и со старшим коэффициентом разлагается в произведение n сомножителей вида , то есть:

Теорема: Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень то он имеет и сопряженный корень .

Теорема: Любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается в произведение многочленов первой степени и второй степени (не имеющей действительных корней) с действительными коэффициентами.

Теорема: для того, чтобы несокращаемая дробь была корнем многочлена с целыми коэффициентами необходимо, чтобы число p было делителем свободного члена , а число q знаменателем старшего члена .

Источник

Алгебраически замкнутое поле

Алгебраически замкнутое поле — поле , в котором всякий многочлен ненулевой степени над имеет хотя бы один корень.

Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым.

Свойства

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Алгебраически замкнутое поле» в других словарях:

АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТОЕ ПОЛЕ — поле А:, в к ром всякий многочлен ненулевой степени над kимеет хотя бы один корень. В действительности, из алгебраич. замкнутости поля будет следовать, что каждый многочлен степени пнад kимеет в kровно пкорней, т. е. каждый неприводимый многочлен … Математическая энциклопедия

Поле (алгебраич.) — Поле алгебраическое, важное алгебраическое понятие, часто используемое как в самой алгебре, так и в др. отделах математики и являющееся предметом самостоятельного изучения. Над обычными числами можно производить четыре арифметических действия… … Большая советская энциклопедия

Поле — I Поле 1) обширное, ровное, безлесное пространство. 2) В сельском хозяйстве участки пашни, на которые разделены площадь Севооборота, а также внесевооборотные (запольные) участки, используемые для выращивания с. х. растений. 3)… … Большая советская энциклопедия

ЛИ РАЗРЕШИМАЯ АЛГЕБРА — алгебра Ли над полем К, удовлетворяющая одному из следующих эквивалентных условий: 1) члены производного ряда для равны <0>при достаточно большом k; 2).существует конечная убывающая цепочка идеалов алгебры таких, что и (т. е. алгебры Ли абелевы) … Математическая энциклопедия

КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — гомоморфизм конечной группы Gв группу обратимых линейных операторов в векторном пространстве над полем К. Теория К … Математическая энциклопедия

ШЕВАЛЛЕ ГРУППА — линейная алгебраич. группа над нек рым полем, связанная с полупростой комплексной алгеброй Ли. Пусть Ли полупростая алгебра над ее подалгебра Картана, система корней алгебры относительно система простых корней, базис Шевалле алгебры его линейная… … Математическая энциклопедия

Теорема Гильберта о нулях — (теорема Гильберта о корнях, во многих языках, в том числе иногда и в русском, часто используют изначальное немецкое название Nullstellensatz, что переводится как теорема о нулях ) теорема, устанавливающая фундаментальную связь между… … Википедия

ВИТТА КОЛЬЦО — поля k, кольцо типов квадратичных форм над k, кольцо W(k).классов невырожденных квадратичных форм на конечномерных векторных пространствах над kпо следующему отношению эквивалентности: форма f1 эквивалентна форме тогда и только тогда, когда для… … Математическая энциклопедия

Источник

Алгебраически замкнутые поля

Среди алгебраических расширений заданного поля важную роль играют, конечно, максимальные алгебраические расширения, т. е. такие, которые не допускают дальнейшего алгебраического расширения. Существование таких расширений будет доказано в настоящем параграфе.

Чтобы поле W было максимальным алгебраическим расшире­нием, необходимо следующее условие: каждый многочлен кольца W[x]полностью разлагается на линейные множители. Это условие является и достаточным. Действительно, если каждый многочлен в W[x]разлагается на линейные множи­тели, то все простые многочлены в W[x]линейны и каждый эле­мент любого алгебраического расширения W’ поля W оказывается корнем некоторого линейного многочлена x — a в W[x],т. е. совпадает с некоторым элементом a поля W.

Поэтому дадим следующее определение:

Поле W называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен в W [ x ] разлагается на линейные множители.

Действительно, если такое условие выполнено и произвольно взятый многочлен f ( x ) разлагается на неразложимые множители, то все они должны быть линейными.

«Основная теорема алгебры» утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Следующим примером алгебраически замкнутого поля может служить поле всех комплексных алгебраических чисел, т. е. множе­ство тех комплексных чисел, которые удовлетворяют какому-либо уравнению с рациональными коэффициентами. Комплексные корни уравнения с алгебраическими коэффициентами являются и в самом деле алгебраическими не только над полем алгебраических чисел, но и над полем рациональных чисел, т. е. сами являются алгебра­ическими числами.

Здесь мы покажем, как построить алгебраически замкнутое расширение произвольно заданного поля P и притом чисто алгебраическим путем. Штейницу принадлежит следующая

Доказательству этой теоремы мы должны предпослать несколько лемм:

Доказательство. Пусть f ( x ) — произвольный многочлен из W[x]. Если он не разлагается на линейные множители, то можно присоединить некоторый его корень a и прийти к собст­венному надполю W’. Элемент a является алгебраическим над W, а W является алгебраическим расширением поля P; следовательно, элемент a алгебраичен и над Р. Поэтому он является корнем некоторого многочлена g ( x ) из P[x].Этот многочлен разлагается в W[x]на линейные множители. Следовательно, a —корень неко­торого линейного множителя в W[x],т. е. принадлежит полю W, что противоречит предположению.

Лемма 2. Если поле P вполне упорядочено, то кольцо много­членов P[x] может быть вполне упорядочено и притом так, что в этом упорядочении поле P будет отрезком.

и при некотором индексе k :

упорядоченным. Поле P в смысле этого порядка является отрезком.

где h —степень многочлена f_i ( x ). Если f_i ( x ) линеен, то, конечно, мы полагаем Р_i= P_i-1; символ a _i в этом случае не нужен. По­строенное поле вполне упорядочивается с помощью следующего условия: каждому элементу поля

и элементы поля упорядочим точно так же, как упорядочены соответствующие им многочлены.

Очевидно, тогда Р_i-1 является отрезком в Р_i, а потому и P — отрезок в Р_i.

Лемма 4. Если в упорядоченном множестве полей каждое предшествующее поле является подполем последующего, то объеди­нение этих полей является полем.

Доказательство. Для любых двух элементов a, b объединения существуют два поля S_a, S_b, которые содержат a, и b и из которых одно предшествует другому. В объемлющем поле опре­делены элементы a + b и a×b и именно так определяются эти элементы в каждом из полей, содержащих a и b, потому что из любых двух таких полей одно предшествует другому и явля­ется его подполем. Например, чтобы доказать закон ассоциатив­ности

найдем среди полей S_a, Sb, S_g то, которое содержит два дру­гих поля (наибольшее); в этом поле содержатся a, b и g и в нем закон ассоциативности выполнен. Тем же способом проверяются все остальные правила вычислений с элементами объединения.

Доказательство основной теоремы распадается на две части: построение поля W и доказательство единственности.

Далее, каждому многочлену f ( x ) сопоставим два вполне упо­рядоченных поля Р_f, S_f, которые определяются следующим рекур­рентным способом.

Таким образом, поле Р_f вполне упорядочивается с помощью требовании 1 и 2. Так как поле S_f, однозначно определяется требованием 3, поля Р_f иS_f построены.

В силу условия 3 многочлен f ( x ) полностью разлагается на линейные множители в поле S_f. Далее, с помощью трансфинитной индукции показывается, что S_f является алгебраическим над Р. Действительно, предположим, что все поля S_g ( g

Источник

Алгебраически замкнутые поля. Алгеброич. замык. Поля рац.чисел

В обозначениях предыдущей леммы и теоремы K= P_F называют алгебраическим замыканием Р в поле F (min подгруппа F, которая содержит Р)

Т.к. Q R, Q_R – алгебраическое замыкание Q над R

[Q( )]=n

n N в Q_R n линейно независимых эл-тов над Q, это говорит о том, что [Q_R ]=n невозможно

Теорема. Q алгебраически замкнутое поле.

Док-во. Возьмем р(х)= а₀+а₁ х+…+а_n х n Q[x], deg f(x)≥1, т к поле С комплексных чисел алгебраически замкнуто, то z C, такой что z- корень р(х). эл-ты а₀,а₁,…,а_n Q, тогда по орпеделенію оні все алгебраически над Q, тогда Q (а₀,а₁,…,а_n )(z)- простое расширение Q (а₀,а₁,…,а_n ) с примитивным алгебраическим эл-том z,

Определение. Q- поле алгебраических чисел.

Группы. Определение, прим., с-ва.

Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией о называется группой, если выполнены следующие аксиомы:

2. наличие нейтрального элемента: e o g= g o e= e;;

Обозн. o > или G

Опр. o >, в которой для любых g₁, g₂: g₁ о g₂₌ g₂ о g₁ называется коммутативной или абелевой.

ПР.Явл-ся ли группой?

Cв-во.Нейтральный в группе единственен

Cв-во. Симметричныйв группе единственен

15.уравнение g₁ o х= g₂

Док-во. Подставить (х) в (1) и показать, что решение ед-но:

Единственность: пусть х₀другой корень и

g₁ o х₀= g₂ –верно,

Док-во Подставить (х) в (1) и показать, что решение ед-но:

Единственность: пусть х₀другой корень и

х₀ o g₁ = g₂ –верно,

Подгруппы. Первый критерий подгруппы.

Док-во:(2 курс)

Показали Н замкнуто относительно определения. Ассоциативности в Н выполняется т.к. она выполняется в G.

Подгруппы. Второй критерий подгруппы.

Док-во:(2 курс)

Показали Н замкнуто относительно определения. Ассоциативности в Н выполняется т.к. она выполняется в G.

Подгруппы. Третий критерий подгруппы.

Отношение эквивалентности, задаваемое подгруппой на группе. Фактор-множество группы по подгруппе

Опред.

Теорема. Бинарное отношение

_Н на G из определения является отношением эквивалентности.

Для любого х, х ϸ х, где ϸ=

Для любых х,у (х ϸ у) следует у ϸ х

Для любых x,y,z (x ϸ y и y ϸ z) следует х ϸ z

Опред. Фактор-множество группы G относительно эквивалентности

_Н-фактор-множество группы G по подгруппе Н.

Источник

Алгебраически замкнутые поля

Среди алгебраических расширений заданного поля важную роль играют, конечно, максимальные алгебраические расширения, т. е. такие, которые не допускают дальнейшего алгебраического расширения. Существование таких расширений будет доказано в настоящем параграфе.

Чтобы поле W было максимальным алгебраическим расшире­нием, необходимо следующее условие: каждый многочлен кольца W[x]полностью разлагается на линейные множители. Это условие является и достаточным. Действительно, если каждый многочлен в W[x]разлагается на линейные множи­тели, то все простые многочлены в W[x]линейны и каждый эле­мент любого алгебраического расширения W’ поля W оказывается корнем некоторого линейного многочлена x — a в W[x],т. е. совпадает с некоторым элементом a поля W.

Читайте также:  с чем колят цефазолин

Поэтому дадим следующее определение:

Поле W называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен в W [ x ] разлагается на линейные множители.

Действительно, если такое условие выполнено и произвольно взятый многочлен f ( x ) разлагается на неразложимые множители, то все они должны быть линейными.

«Основная теорема алгебры» утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Следующим примером алгебраически замкнутого поля может служить поле всех комплексных алгебраических чисел, т. е. множе­ство тех комплексных чисел, которые удовлетворяют какому-либо уравнению с рациональными коэффициентами. Комплексные корни уравнения с алгебраическими коэффициентами являются и в самом деле алгебраическими не только над полем алгебраических чисел, но и над полем рациональных чисел, т. е. сами являются алгебра­ическими числами.

Здесь мы покажем, как построить алгебраически замкнутое расширение произвольно заданного поля P и притом чисто алгебраическим путем. Штейницу принадлежит следующая

Доказательству этой теоремы мы должны предпослать несколько лемм:

Доказательство. Пусть f ( x ) — произвольный многочлен из W[x]. Если он не разлагается на линейные множители, то можно присоединить некоторый его корень a и прийти к собст­венному надполю W’. Элемент a является алгебраическим над W, а W является алгебраическим расширением поля P; следовательно, элемент a алгебраичен и над Р. Поэтому он является корнем некоторого многочлена g ( x ) из P[x].Этот многочлен разлагается в W[x]на линейные множители. Следовательно, a —корень неко­торого линейного множителя в W[x],т. е. принадлежит полю W, что противоречит предположению.

Лемма 2. Если поле P вполне упорядочено, то кольцо много­членов P[x] может быть вполне упорядочено и притом так, что в этом упорядочении поле P будет отрезком.

и при некотором индексе k :

упорядоченным. Поле P в смысле этого порядка является отрезком.

где h —степень многочлена f_i ( x ). Если f_i ( x ) линеен, то, конечно, мы полагаем Р_i= P_i-1; символ a _i в этом случае не нужен. По­строенное поле вполне упорядочивается с помощью следующего условия: каждому элементу поля

и элементы поля упорядочим точно так же, как упорядочены соответствующие им многочлены.

Очевидно, тогда Р_i-1 является отрезком в Р_i, а потому и P — отрезок в Р_i.

Лемма 4. Если в упорядоченном множестве полей каждое предшествующее поле является подполем последующего, то объеди­нение этих полей является полем.

Доказательство. Для любых двух элементов a, b объединения существуют два поля S_a, S_b, которые содержат a, и b и из которых одно предшествует другому. В объемлющем поле опре­делены элементы a + b и a×b и именно так определяются эти элементы в каждом из полей, содержащих a и b, потому что из любых двух таких полей одно предшествует другому и явля­ется его подполем. Например, чтобы доказать закон ассоциатив­ности

найдем среди полей S_a, Sb, S_g то, которое содержит два дру­гих поля (наибольшее); в этом поле содержатся a, b и g и в нем закон ассоциативности выполнен. Тем же способом проверяются все остальные правила вычислений с элементами объединения.

Доказательство основной теоремы распадается на две части: построение поля W и доказательство единственности.

Далее, каждому многочлену f ( x ) сопоставим два вполне упо­рядоченных поля Р_f, S_f, которые определяются следующим рекур­рентным способом.

Таким образом, поле Р_f вполне упорядочивается с помощью требовании 1 и 2. Так как поле S_f, однозначно определяется требованием 3, поля Р_f иS_f построены.

В силу условия 3 многочлен f ( x ) полностью разлагается на линейные множители в поле S_f. Далее, с помощью трансфинитной индукции показывается, что S_f является алгебраическим над Р. Действительно, предположим, что все поля S_g ( g

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Источник